Diketahui segitiga siku-siku di C dengan panjang AB=1 dan

Panjang CD = 1 - sqrt(2)/2 dan sin 22 1/2 = sqrt(2 - sqrt(2)) / 2.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan sifat-sifat segitiga siku-siku dan trigonometri.
Diketahui segitiga siku-siku di C dengan AB=1 dan sudut ABC=45 derajat. Ini berarti segitiga ABC adalah segitiga siku-siku sama kaki, sehingga AC = BC.
Karena jumlah sudut dalam segitiga adalah 180 derajat, maka sudut BAC = 180 - 90 - 45 = 45 derajat.
a. Menentukan panjang CD:
Garis AD ditarik sehingga sudut CAD = sudut DAB. Ini berarti AD adalah garis bagi sudut BAC. Karena sudut BAC = 45 derajat, maka sudut CAD = sudut DAB = 45/2 = 22.5 derajat.
Karena AD adalah garis bagi sudut, kita dapat menggunakan sifat garis bagi segitiga: CD/DB = AC/AB. Karena segitiga ABC sama kaki, AC = BC.
Kita juga bisa menggunakan trigonometri untuk mencari panjang sisi AC dan BC. Dengan AB=1 (hipotenusa) dan sudut ABC=45, maka AC = AB * sin(45) = 1 * (sqrt(2)/2) = sqrt(2)/2 dan BC = AB * cos(45) = 1 * (sqrt(2)/2) = sqrt(2)/2.
Karena AD adalah garis bagi sudut A, maka berdasarkan dalil garis bagi: CD/DB = AC/AB = (sqrt(2)/2) / 1 = sqrt(2)/2. Juga, CD + DB = BC = sqrt(2)/2.
Dari CD/DB = sqrt(2)/2, kita dapatkan DB = CD / (sqrt(2)/2) = 2CD/sqrt(2) = CD * sqrt(2).
Substitusikan DB ke persamaan CD + DB = sqrt(2)/2:
CD + CD * sqrt(2) = sqrt(2)/2
CD * (1 + sqrt(2)) = sqrt(2)/2
CD = (sqrt(2)/2) / (1 + sqrt(2)) = sqrt(2) / (2 * (1 + sqrt(2))).
Untuk merasionalkan penyebut: CD = sqrt(2) * (sqrt(2) - 1) / (2 * (1 + sqrt(2)) * (sqrt(2) - 1)) = (2 - sqrt(2)) / (2 * (2 - 1)) = (2 - sqrt(2)) / 2 = 1 - sqrt(2)/2.
b. Menentukan nilai sin 22 1/2:
Kita tahu bahwa sudut CAD = 22.5 derajat. Kita perlu menentukan nilai sin(22.5).
Kita dapat menggunakan rumus setengah sudut: sin(θ/2) = ± sqrt((1 - cos(θ))/2).
Dalam kasus ini, θ = 45 derajat.
sin(22.5) = sqrt((1 - cos(45))/2) (karena 22.5 derajat berada di kuadran I, sinus bernilai positif).
sin(22.5) = sqrt((1 - sqrt(2)/2)/2) = sqrt(((2 - sqrt(2))/2)/2) = sqrt((2 - sqrt(2))/4) = sqrt(2 - sqrt(2)) / 2.