Diketahui segitiga siku-siku PQR kongruen dengan segitiga

$7\sqrt{7}$ cm

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan konsep kekongruenan segitiga siku-siku dan teorema Pythagoras.

Diketahui:
*   Segitiga siku-siku PQR kongruen dengan segitiga siku-siku KLM.
*   Sisi tegak (tinggi) PQR berhimpitan dengan sisi miring KLM.
*   QR = LM = x cm
*   PR = 28 cm
*   KL = 21 cm

Karena kedua segitiga siku-siku kongruen, maka sisi-sisi yang bersesuaian memiliki panjang yang sama. Dalam segitiga siku-siku, sisi-sisi tersebut adalah dua sisi tegak (alas dan tinggi) dan sisi miring.

Dalam segitiga PQR, sisi-sisi adalah PQ (alas), QR (tinggi), dan PR (sisi miring).
Dalam segitiga KLM, sisi-sisi adalah KL (alas), LM (tinggi), dan KM (sisi miring).

Kita diberikan bahwa QR = LM = x. Ini berarti sisi tegak dari PQR sama dengan sisi tegak dari KLM.

Karena segitiga PQR kongruen dengan segitiga KLM, maka pasangan sisi yang bersesuaian harus sama panjang. Kita perlu mengidentifikasi pasangan sisi yang bersesuaian berdasarkan informasi yang diberikan.

Informasi:
1.  QR (sisi tegak PQR) = LM (sisi tegak KLM) = x
2.  PR (sisi miring PQR) = 28 cm
3.  KL (sisi tegak KLM) = 21 cm

Karena segitiga PQR kongruen dengan segitiga KLM, maka:
*   PQ = KL atau PQ = KM
*   QR = LM atau QR = KL
*   PR = KM atau PR = LM

Kita tahu QR = LM = x. Ini adalah sisi tegak.
Kita tahu PR = 28 cm. Ini adalah sisi miring PQR.
Kita tahu KL = 21 cm. Ini adalah sisi tegak KLM.

Karena segitiga PQR siku-siku, maka berlaku Teorema Pythagoras: $PQ^2 + QR^2 = PR^2$.
Karena segitiga KLM siku-siku, maka berlaku Teorema Pythagoras: $KL^2 + LM^2 = KM^2$.

Karena PQR kongruen dengan KLM, maka PR (sisi miring PQR) harus sama dengan sisi miring KLM (KM), atau PR sama dengan salah satu sisi tegak KLM (KL atau LM). Namun, sisi miring adalah sisi terpanjang. 

Jika PR = 28 adalah sisi miring PQR, maka KM (sisi miring KLM) harus sama dengan 28.
Jika KL = 21 adalah sisi tegak KLM, dan LM = x adalah sisi tegak KLM.

Karena PQR kongruen dengan KLM, maka sisi-sisi yang bersesuaian sama. Mari kita analisis kemungkinannya:

Kasus 1: PQ bersesuaian dengan KL, QR bersesuaian dengan LM, dan PR bersesuaian dengan KM.
    *   PQ = KL = 21 cm
    *   QR = LM = x cm
    *   PR = KM = 28 cm
    Menggunakan Pythagoras pada PQR: $PQ^2 + QR^2 = PR^2$ -> $21^2 + x^2 = 28^2$
    $441 + x^2 = 784$
    $x^2 = 784 - 441$
    $x^2 = 343$
    $x = \sqrt{343} = 7\sqrt{7}$ cm

Kasus 2: PQ bersesuaian dengan LM, QR bersesuaian dengan KL, dan PR bersesuaian dengan KM.
    *   PQ = LM = x cm
    *   QR = KL = 21 cm
    *   PR = KM = 28 cm
    Menggunakan Pythagoras pada PQR: $PQ^2 + QR^2 = PR^2$ -> $x^2 + 21^2 = 28^2$
    $x^2 + 441 = 784$
    $x^2 = 784 - 441$
    $x^2 = 343$
    $x = \sqrt{343} = 7\sqrt{7}$ cm

Dalam kedua kasus ini, nilai x adalah $7\sqrt{7}$. Namun, mari kita periksa kembali informasi yang diberikan: "Sisi tegak (tinggi) segitiga siku-siku PQR berhimpitan dengan sisi miring segitiga siku-siku KLM sehingga QR=LM=x cm." Ini agak membingungkan karena sisi tegak tidak bisa berhimpitan dengan sisi miring dalam arti geometri spasial, mungkin maksudnya adalah panjang sisi tegak PQR sama dengan panjang sisi tegak KLM, atau ada hubungan posisi tertentu yang tidak bisa digambarkan hanya dengan teks.

Kita diberikan QR = LM = x. Ini adalah sisi tegak.
Kita diberikan PR = 28 cm (sisi miring PQR).
Kita diberikan KL = 21 cm (sisi tegak KLM).

Karena PQR kongruen dengan KLM, maka:
Sisi-sisi PQR adalah PQ, QR=x, PR=28.
Sisi-sisi KLM adalah KL=21, LM=x, KM.

Karena kongruen, maka set sisi yang sama harus ada di kedua segitiga. Kita sudah memiliki satu pasang sisi tegak yang sama (QR=LM=x).

Sekarang kita lihat sisi lainnya:
PR (sisi miring PQR) = 28.
KL (sisi tegak KLM) = 21.

Dalam segitiga siku-siku, sisi miring adalah sisi terpanjang. Maka, 28 harus lebih besar dari kedua sisi tegaknya (PQ dan QR).

Jika PR (sisi miring PQR) = 28, maka sisi miring KLM (KM) juga harus 28.

Jadi, kita memiliki:
Segitiga PQR: PQ, QR=x, PR=28
Segitiga KLM: KL=21, LM=x, KM=28

Karena kongruen, maka himpunan panjang sisi kedua segitiga harus sama. Himpunan sisi PQR adalah {PQ, x, 28}. Himpunan sisi KLM adalah {21, x, 28}.

Agar kedua himpunan ini sama, maka PQ harus sama dengan 21.

Sekarang kita bisa gunakan Teorema Pythagoras pada salah satu segitiga.
Pada segitiga PQR:
$PQ^2 + QR^2 = PR^2$
$21^2 + x^2 = 28^2$
$441 + x^2 = 784$
$x^2 = 784 - 441$
$x^2 = 343$
$x = \sqrt{343}$
$x = \sqrt{49 \times 7}$
$x = 7\sqrt{7}$ cm

Mari kita periksa pada segitiga KLM:
$KL^2 + LM^2 = KM^2$
$21^2 + x^2 = 28^2$
$441 + (7\sqrt{7})^2 = 28^2$
$441 + (49 \times 7) = 784$
$441 + 343 = 784$
$784 = 784$

Perhitungan sudah benar.

Hasil nilai x adalah $7\sqrt{7}$ cm.