Diketahui sin 20=1/p. Tentukan nilai trigonometri berikut

a. sec 70° = p, b. cotan 70° = 1 / sqrt(p² - 1)

Pembahasan

Diberikan informasi trigonometri: sin 20° = 1/p.
Kita perlu mencari nilai sec 70° dan cotan 70° dalam p.

Hubungan antara sudut-sudut komplementer (jumlahnya 90°):
Jika A + B = 90°, maka:
sin A = cos B
cos A = sin B
tan A = cot B
cot A = tan B
sec A = csc B
csc A = sec B

Dalam kasus ini, kita memiliki sudut 20° dan 70°, di mana 20° + 70° = 90°.

a. Mencari nilai sec 70°:
Kita tahu bahwa sec 70° = 1 / cos 70°.
Karena 20° + 70° = 90°, maka cos 70° = sin 20°.
Diketahui sin 20° = 1/p.
Maka, cos 70° = 1/p.
Jadi, sec 70° = 1 / (1/p) = p.

b. Mencari nilai cotan 70°:
Kita tahu bahwa cotan 70° = cos 70° / sin 70°.
Kita sudah tahu cos 70° = sin 20° = 1/p.
Untuk sin 70°, kita gunakan hubungan sin 70° = cos 20°.
Kita perlu mencari nilai cos 20° dari sin 20°.
Menggunakan identitas trigonometri dasar: sin²θ + cos²θ = 1.
(1/p)² + cos²20° = 1
1/p² + cos²20° = 1
cos²20° = 1 - 1/p²
cos²20° = (p² - 1) / p²
cos 20° = sqrt((p² - 1) / p²) = sqrt(p² - 1) / p (karena 20° di kuadran I, cos positif).

Maka, sin 70° = cos 20° = sqrt(p² - 1) / p.

Sekarang kita bisa hitung cotan 70°:
cotan 70° = cos 70° / sin 70°
cotan 70° = (1/p) / (sqrt(p² - 1) / p)
cotan 70° = (1/p) * (p / sqrt(p² - 1))
cotan 70° = 1 / sqrt(p² - 1)

Jadi:
a. sec 70° = p
b. cotan 70° = 1 / sqrt(p² - 1)