Diketahui transformasi T1=[2 1 3 1] dan T2=[-1 1 0 1]. Peta

$-2x + y = 4$ atau $y = 2x + 4$

Pembahasan

Soal #5: Diketahui transformasi T1=[2 1 3 1] dan T2=[-1 1 0 1]. Peta dari garis x+y=4 karena transformasi T1 dilanjutkan dengan T2 adalah ....

Transformasi T1 dapat direpresentasikan oleh matriks $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$.
Transformasi T2 dapat direpresentasikan oleh matriks $B = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.

Transformasi gabungan T1 dilanjutkan dengan T2 berarti kita mengalikan matriks B dengan matriks A (urutan transformasi penting: T2 * T1).
Matriks transformasi gabungan $C = B * A$
$C = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$
$C = \begin{bmatrix} (-1)(2)+(1)(3) & (-1)(1)+(1)(1) \\ (0)(2)+(1)(3) & (0)(1)+(1)(1) \end{bmatrix}$
$C = \begin{bmatrix} -2+3 & -1+1 \\ 0+3 & 0+1 \end{bmatrix}$
$C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$

Sekarang, kita perlu mencari peta dari garis $x+y=4$ oleh transformasi C. Misalkan titik $(x, y)$ pada garis asli dipetakan ke titik $(x', y')$ oleh transformasi C.
$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$
Ini memberikan kita sistem persamaan:
$x' = 1x + 0y = x$
$y' = 3x + 1y = 3x + y$

Dari persamaan pertama, kita dapatkan $x = x'$.
Substitusikan $x = x'$ ke dalam persamaan kedua:
$y' = 3x' + y$

Kita perlu menyatakan $x$ dan $y$ dalam bentuk $x'$ dan $y'$ untuk disubstitusikan ke persamaan garis asli $x+y=4$.
Dari $x' = x$, kita punya $x = x'$.
Dari $y' = 3x + y$, kita punya $y = y' - 3x$. Substitusikan $x=x'$, sehingga $y = y' - 3x'$.

Sekarang substitusikan $x = x'$ dan $y = y' - 3x'$ ke dalam persamaan garis $x+y=4$:
$x' + (y' - 3x') = 4$
$x' + y' - 3x' = 4$
$-2x' + y' = 4$

Jadi, peta dari garis $x+y=4$ karena transformasi T1 dilanjutkan dengan T2 adalah garis $-2x + y = 4$ atau $y = 2x + 4$.