Diketahui sistem persamaan linear dalam bentuk matriks

Nilai x^2+y^2+z^2 adalah 14.

Pembahasan

Kita diberikan sistem persamaan linear dalam bentuk matriks:
[1 2 1]
[2 -1 -1]
[3 1 -2]
[x y z] = [7 2 11]

Ini merepresentasikan sistem persamaan linear:
x + 2y + z = 7
2x - y - z = 2
3x + y - 2z = 11

Kita dapat menyelesaikan sistem ini menggunakan metode eliminasi atau substitusi, atau menggunakan matriks invers.

Mari kita gunakan metode eliminasi:
1. Tambahkan persamaan (1) dan (2):
   (x + 2y + z) + (2x - y - z) = 7 + 2
   3x + y = 9 (Persamaan 4)

2. Kalikan persamaan (1) dengan 2 dan kurangkan dari persamaan (3):
   2(x + 2y + z) = 2(7) => 2x + 4y + 2z = 14
   (3x + y - 2z) - (2x + 4y + 2z) = 11 - 14
   x - 3y - 4z = -3 (Ini tidak menyederhanakan dengan mudah, mari coba cara lain)

Alternatif: Gunakan eliminasi untuk mendapatkan dua persamaan dengan dua variabel.
1. Tambahkan persamaan (1) dan (2):
   3x + y = 9 (Persamaan 4)

2. Kalikan persamaan (2) dengan 2 dan tambahkan ke persamaan (3):
   2(2x - y - z) = 2(2) => 4x - 2y - 2z = 4
   (3x + y - 2z) + (4x - 2y - 2z) = 11 + 4
   7x - y - 4z = 15 (Ini juga tidak membantu secara langsung)

Mari kita coba eliminasi z:
1. Tambahkan (1) dan (2):
   3x + y = 9 (Persamaan 4)

2. Kalikan (1) dengan 2 dan tambahkan ke (3):
   2(x + 2y + z) = 14 => 2x + 4y + 2z = 14
   (3x + y - 2z) + (2x + 4y + 2z) = 11 + 14
   5x + 5y = 25 => x + y = 5 (Persamaan 5)

Sekarang kita punya sistem dua persamaan dengan dua variabel:
Persamaan 4: 3x + y = 9
Persamaan 5: x + y = 5

Kurangkan Persamaan 5 dari Persamaan 4:
(3x + y) - (x + y) = 9 - 5
2x = 4
x = 2

Substitusikan x = 2 ke Persamaan 5:
2 + y = 5
y = 3

Substitusikan x = 2 dan y = 3 ke Persamaan 1:
2 + 2(3) + z = 7
2 + 6 + z = 7
8 + z = 7
z = -1

Jadi, nilai x=2, y=3, dan z=-1.

Kita perlu mencari nilai x^2 + y^2 + z^2:
$x^2 + y^2 + z^2 = (2)^2 + (3)^2 + (-1)^2 = 4 + 9 + 1 = 14$.

Jawaban: Nilai $x^2+y^2+z^2$ adalah 14.