Diketahui sistem persamaan tiga variabel berikut.

(-7, 12, 8/19)

Pembahasan

Misalkan $a = \frac{1}{x+1}$, $b = \frac{1}{y-3}$, dan $c = \frac{1}{z+1}$.

Sistem persamaan dapat ditulis ulang sebagai:
1. $2a + 2b + 3c = 2$
2. $-4a + b + 6c = 5$
3. $4a + 5b + 3c = 2$

Kita dapat menggunakan metode eliminasi atau substitusi untuk menyelesaikan sistem persamaan linear ini.

Mari kita gunakan metode eliminasi.
Jumlahkan Persamaan 1 dan Persamaan 3:
$(2a + 2b + 3c) + (4a + 5b + 3c) = 2 + 2$
$6a + 7b + 6c = 4$ (Persamaan 4)

Kalikan Persamaan 2 dengan 2:
$2(-4a + b + 6c) = 2(5)$
$-8a + 2b + 12c = 10$ (Persamaan 5)

Kalikan Persamaan 1 dengan 2:
$2(2a + 2b + 3c) = 2(2)$
$4a + 4b + 6c = 4$ (Persamaan 6)

Kurangkan Persamaan 6 dari Persamaan 2:
$(-4a + b + 6c) - (2a + 2b + 3c) = 5 - 2$
$-6a - b + 3c = 3$ (Persamaan 7)

Kalikan Persamaan 3 dengan 2:
$2(4a + 5b + 3c) = 2(2)$
$8a + 10b + 6c = 4$ (Persamaan 8)

Kurangkan Persamaan 1 dari Persamaan 3:
$(4a + 5b + 3c) - (2a + 2b + 3c) = 2 - 2$
$2a + 3b = 0$ (Persamaan 9)
$2a = -3b 
 a = -3/2 b$

Sekarang kita punya sistem baru dengan Persamaan 2 dan 7 (atau kombinasi lain):
2. $-4a + b + 6c = 5$
7. $-6a - b + 3c = 3$

Jumlahkan Persamaan 2 dan Persamaan 7:
$(-4a + b + 6c) + (-6a - b + 3c) = 5 + 3$
$-10a + 9c = 8$ (Persamaan 10)

Substitusikan $a = -3/2 b$ ke Persamaan 7:
$-6(-3/2 b) - b + 3c = 3$
$9b - b + 3c = 3$
$8b + 3c = 3$ (Persamaan 11)

Dari Persamaan 9, kita punya $a = -3/2 b$. Substitusikan ini ke Persamaan 1:
$2(-3/2 b) + 2b + 3c = 2$
$-3b + 2b + 3c = 2$
$-b + 3c = 2$ (Persamaan 12)

Sekarang kita punya sistem dua variabel dengan Persamaan 11 dan 12:
11. $8b + 3c = 3$
12. $-b + 3c = 2$

Kurangkan Persamaan 12 dari Persamaan 11:
$(8b + 3c) - (-b + 3c) = 3 - 2$
$9b = 1$
$b = 1/9$

Substitusikan $b = 1/9$ ke Persamaan 12:
$-(1/9) + 3c = 2$
$3c = 2 + 1/9$
$3c = 18/9 + 1/9$
$3c = 19/9$
$c = 19/27$

Substitusikan $b = 1/9$ ke $a = -3/2 b$:
$a = -3/2 * (1/9)$
$a = -3/18$
$a = -1/6$

Sekarang kita punya nilai $a$, $b$, dan $c$:
$a = \frac{1}{x+1} = -\frac{1}{6} 
 x+1 = -6 
 x = -7$

$b = \frac{1}{y-3} = \frac{1}{9} 
 y-3 = 9 
 y = 12$

$c = \frac{1}{z+1} = \frac{19}{27} 
 z+1 = \frac{27}{19} 
 z = \frac{27}{19} - 1 = \frac{27 - 19}{19} = \frac{8}{19}$

Himpunan penyelesaiannya adalah $(x, y, z) = (-7, 12, 8/19)$.

Verifikasi:
1. $2(-\frac{1}{6}) + 2(\frac{1}{9}) + 3(\frac{19}{27}) = -\frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{19}{9} = -\frac{3}{9} + \frac{2}{9} + \frac{19}{9} = \frac{-3+2+19}{9} = \frac{18}{9} = 2$ (Benar)
2. $-4(-\frac{1}{6}) + \frac{1}{9} + 6(\frac{19}{27}) = \frac{2}{3} + \frac{1}{9} + \frac{2*19}{9} = \frac{6}{9} + \frac{1}{9} + \frac{38}{9} = \frac{6+1+38}{9} = \frac{45}{9} = 5$ (Benar)
3. $4(-\frac{1}{6}) + 5(\frac{1}{9}) + 3(\frac{19}{27}) = -\frac{2}{3} + \frac{5}{9} + \frac{19}{9} = -\frac{6}{9} + \frac{5}{9} + \frac{19}{9} = \frac{-6+5+19}{9} = \frac{18}{9} = 2$ (Benar)

Himpunan penyelesaiannya adalah $(-7, 12, 8/19)$.