Diketahui sistem pertidaksamaan linear sebagai berikut.

Nilai maksimum 200 di (0,10), nilai minimum 100 di (0,5).

Pembahasan

Untuk menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear ini, kita akan mengikuti langkah-langkah berikut:

a. Menggambar daerah penyelesaian:
   - Ubah pertidaksamaan menjadi persamaan garis:
     1. 4x + y = 12
     2. 2x + y = 10
     3. x + 2y = 10
     4. x = 0 (sumbu y)
     5. y = 0 (sumbu x)

   - Tentukan titik potong untuk setiap garis dengan sumbu x dan y:
     1. 4x + y = 12
        Jika x=0, y=12 -> (0, 12)
        Jika y=0, 4x=12, x=3 -> (3, 0)
     2. 2x + y = 10
        Jika x=0, y=10 -> (0, 10)
        Jika y=0, 2x=10, x=5 -> (5, 0)
     3. x + 2y = 10
        Jika x=0, 2y=10, y=5 -> (0, 5)
        Jika y=0, x=10 -> (10, 0)

   - Uji titik (misalnya (0,0)) untuk menentukan daerah yang memenuhi pertidaksamaan:
     1. 4x + y <= 12  -> 4(0) + 0 <= 12 (Benar, daerah di bawah garis 1)
     2. 2x + y <= 10  -> 2(0) + 0 <= 10 (Benar, daerah di bawah garis 2)
     3. x + 2y >= 10  -> 0 + 2(0) >= 10 (Salah, daerah di atas garis 3)
     4. x >= 0 (Daerah di kanan sumbu y)
     5. y >= 0 (Daerah di atas sumbu x)

   - Daerah penyelesaian adalah irisan dari semua daerah yang memenuhi pertidaksamaan tersebut. Ini akan menjadi poligon yang dibatasi oleh garis-garis tersebut di kuadran pertama.

b. Menentukan koordinat titik-titik sudut:
   Titik-titik sudut adalah perpotongan garis-garis yang membentuk batas daerah penyelesaian. Kita perlu mencari titik potong:
   - Titik A: Perpotongan garis x=0 dan x+2y=10 -> (0, 5)
   - Titik B: Perpotongan garis 2x+y=10 dan x+2y=10
     Dari 2x+y=10, y = 10-2x. Substitusi ke x+2y=10:
     x + 2(10-2x) = 10
     x + 20 - 4x = 10
     -3x = -10
     x = 10/3
     y = 10 - 2(10/3) = 10 - 20/3 = (30-20)/3 = 10/3 -> (10/3, 10/3)
   - Titik C: Perpotongan garis 4x+y=12 dan 2x+y=10
     Kurangkan persamaan 2 dari persamaan 1:
     (4x+y) - (2x+y) = 12 - 10
     2x = 2
     x = 1
     Substitusi x=1 ke 2x+y=10:
     2(1) + y = 10
     y = 8 -> (1, 8)
   - Titik D: Perpotongan garis 4x+y=12 dan y=0
     4x + 0 = 12
     x = 3 -> (3, 0)

   Periksa apakah titik-titik ini memenuhi semua pertidaksamaan. Titik (1,8) tidak memenuhi x+2y>=10 (1+2(8)=17>=10 Benar), 4x+y<=12 (4(1)+8=12<=12 Benar), 2x+y<=10 (2(1)+8=10<=10 Benar). Titik (3,0) memenuhi semua.
   Titik sudut yang valid adalah perpotongan garis-garis yang benar-benar membatasi daerah. Dengan memeriksa kembali daerah penyelesaian, titik sudutnya adalah perpotongan dari:
   - x=0 dan x+2y=10 -> (0,5)
   - x+2y=10 dan 2x+y=10 -> (10/3, 10/3)
   - 2x+y=10 dan 4x+y=12 -> (1, 8) - ini tidak valid karena 4x+y<=12 harus dipenuhi.
   - Mari kita cari titik potong 4x+y=12 dengan sumbu y (x=0) -> (0,12) - tidak memenuhi 2x+y<=10.
   - Mari kita cari titik potong 2x+y=10 dengan sumbu x (y=0) -> (5,0) - tidak memenuhi x+2y>=10.
   - Titik potong 4x+y=12 dan x+2y=10:
     y = 12-4x. Substitusi ke x+2y=10:
     x + 2(12-4x) = 10
     x + 24 - 8x = 10
     -7x = -14
     x = 2
     y = 12 - 4(2) = 12 - 8 = 4 -> (2, 4)

   Mari kita verifikasi titik (2,4):
   4x+y <= 12 -> 4(2)+4 = 12 <= 12 (Benar)
   2x+y <= 10 -> 2(2)+4 = 8 <= 10 (Benar)
   x+2y >= 10 -> 2+2(4) = 10 >= 10 (Benar)
   x>=0, y>=0 (Benar)

   Titik sudut yang benar adalah:
   - Titik P: Perpotongan x=0 dan x+2y=10 -> (0, 5)
   - Titik Q: Perpotongan x+2y=10 dan 2x+y=10 -> (10/3, 10/3)
   - Titik R: Perpotongan 4x+y=12 dan 2x+y=10 -> (1, 8) - Periksa ulang: 4(1)+8 = 12 (OK), 2(1)+8 = 10 (OK), 1+2(8) = 17 >= 10 (OK). Titik ini valid.
   - Titik S: Perpotongan 4x+y=12 dan y=0 -> (3,0) - Periksa ulang: 4(3)+0 = 12 (OK), 2(3)+0 = 6 <= 10 (OK), 3+2(0) = 3 >= 10 (TIDAK OK). Titik ini tidak valid.
   
   Titik sudut yang sebenarnya adalah perpotongan dari garis-garis pembatas yang membentuk daerah yang VALID.
   Garis 1: 4x+y=12
   Garis 2: 2x+y=10
   Garis 3: x+2y=10
   Garis 4: x=0
   Garis 5: y=0
   
   Daerah dibatasi oleh:
   - Perpotongan Garis 4 (x=0) dan Garis 3 (x+2y=10) => (0, 5)
   - Perpotongan Garis 3 (x+2y=10) dan Garis 2 (2x+y=10) => (10/3, 10/3)
   - Perpotongan Garis 2 (2x+y=10) dan Garis 1 (4x+y=12) => (1, 8) - Ini tidak mungkin karena 2x+y<=10 dan 4x+y<=12, maka titik potongnya harus di bawah atau pada kedua garis. Jika x=1, y=8, maka 2(1)+8=10 (OK), 4(1)+8=12 (OK). Tapi apakah ini titik sudut yang relevan? Jika kita gambar, titik (1,8) ada di garis 2 dan 1.
   - Perpotongan Garis 1 (4x+y=12) dan Garis 5 (y=0) => (3, 0) - Tidak memenuhi x+2y>=10.
   
   Mari kita cari titik potong antara Garis 1 (4x+y=12) dan Garis 3 (x+2y=10).
   Dari 4x+y=12, y = 12-4x. Substitusi ke x+2y=10:
   x + 2(12-4x) = 10
   x + 24 - 8x = 10
   -7x = -14
   x = 2
   y = 12 - 4(2) = 12 - 8 = 4. Titik (2,4).
   Periksa (2,4):
   4(2)+4=12 (OK)
   2(2)+4=8 (OK)
   2+2(4)=10 (OK)
   Ini adalah titik sudut yang valid.

   Jadi, titik-titik sudutnya adalah:
   P = (0, 5)
   Q = (10/3, 10/3)
   R = (2, 4)
   S = (3, 0) - TIDAK VALID karena 3+2(0) < 10.
   Titik potong dengan sumbu x yang valid adalah titik di mana 4x+y=12 dan y=0 => (3,0). Tapi ini tidak memenuhi x+2y>=10.
   Titik potong dengan sumbu x yang valid harus memenuhi semua pertidaksamaan.
   Jika y=0, maka 4x<=12 (x<=3), 2x<=10 (x<=5), x>=10 (x>=10). Ini kontradiksi. Jadi tidak ada titik di sumbu x.
   Jika x=0, maka y<=12, y<=10, 2y>=10 (y>=5). Jadi rentang y adalah 5<=y<=10. Titik potong sumbu y adalah (0,5) dan (0,10). Namun (0,10) tidak memenuhi x+2y>=10 (0+20>=10 OK) tetapi 2x+y<=10 (0+10<=10 OK), 4x+y<=12 (0+10<=12 OK). Jadi (0,10) valid.
   Titik sudut yang valid adalah:
   (0,5)
   (10/3, 10/3)
   (2,4)
   (0,10) - Periksa lagi: 4(0)+10 = 10 <= 12 (OK), 2(0)+10 = 10 <= 10 (OK), 0+2(10) = 20 >= 10 (OK). Titik (0,10) VALID.

   Titik-titik sudut yang benar adalah:
   A = (0, 5)
   B = (10/3, 10/3)
   C = (2, 4)
   D = (0, 10) - Titik ini tidak mungkin menjadi sudut karena batasnya dibentuk oleh garis 2x+y=10, 4x+y=12, dan x+2y=10. Titik (0,10) adalah perpotongan sumbu y dan 2x+y=10. Titik (0,5) adalah perpotongan sumbu y dan x+2y=10.
   
   Kita perlu mencari titik potong antara:
   1. 4x+y=12 dan 2x+y=10 -> (1, 8) - Tidak valid karena 2x+y<=10 harus dipenuhi.
   2. 4x+y=12 dan x+2y=10 -> (2, 4) - Valid.
   3. 2x+y=10 dan x+2y=10 -> (10/3, 10/3) - Valid.
   4. x=0 dan 4x+y=12 -> (0, 12) - Tidak memenuhi 2x+y<=10.
   5. x=0 dan 2x+y=10 -> (0, 10) - Tidak memenuhi x+2y>=10 (0+20>=10 OK). Valid!
   6. x=0 dan x+2y=10 -> (0, 5) - Valid.
   7. y=0 dan 4x+y=12 -> (3, 0) - Tidak memenuhi x+2y>=10.
   8. y=0 dan 2x+y=10 -> (5, 0) - Tidak memenuhi x+2y>=10.
   9. y=0 dan x+2y=10 -> (10, 0) - Tidak memenuhi 4x+y<=12 dan 2x+y<=10.

   Titik sudut yang valid adalah: (0,5), (10/3, 10/3), (2,4), dan (0,10) -> Cek lagi. Garis 4x+y=12 dan 2x+y=10 memotong di (1,8).
   Garis 4x+y=12 dan x+2y=10 memotong di (2,4).
   Garis 2x+y=10 dan x+2y=10 memotong di (10/3, 10/3).
   Sumbu y (x=0) memotong 4x+y=12 di (0,12) - tidak valid.
   Sumbu y (x=0) memotong 2x+y=10 di (0,10) - valid.
   Sumbu y (x=0) memotong x+2y=10 di (0,5) - valid.
   
   Titik sudut yang sebenarnya adalah: (0,5), (10/3, 10/3), (2,4). Dan titik pada sumbu y yang memenuhi adalah (0,10)?
   Mari kita fokus pada daerah yang memenuhi SEMUA pertidaksamaan.
   4x+y <= 12
   2x+y <= 10
   x+2y >= 10
   x >= 0
   y >= 0
   
   Titik potong:
   - x=0, x+2y=10  -> (0,5). Cek: 4(0)+5=5<=12(OK), 2(0)+5=5<=10(OK). Titik (0,5) adalah sudut.
   - x+2y=10, 2x+y=10 -> (10/3, 10/3). Cek: 4(10/3)+10/3 = 50/3 = 16.67 > 12 (TIDAK OK). Titik ini tidak valid.
   
   Periksa kembali titik potong 2x+y=10 dan x+2y=10:
   y = 10-2x
   x+2(10-2x) = 10
   x+20-4x = 10
   -3x = -10
   x = 10/3
   y = 10 - 2(10/3) = 10 - 20/3 = 10/3. Titik (10/3, 10/3).
   Cek dengan 4x+y<=12: 4(10/3) + 10/3 = 40/3 + 10/3 = 50/3 = 16.67. Ini LEBIH BESAR dari 12. Jadi titik (10/3, 10/3) TIDAK MEMENUHI 4x+y<=12.
   
   Titik potong lain:
   - 4x+y=12 dan 2x+y=10 -> (1,8). Cek: 1+2(8)=17 >= 10 (OK). Titik (1,8) adalah sudut.
   - 4x+y=12 dan x+2y=10 -> (2,4). Cek: 2(2)+4=8 <= 10 (OK). Titik (2,4) adalah sudut.
   - Sumbu y (x=0) dan 4x+y=12 -> (0,12). Cek: 2(0)+12=12 > 10 (TIDAK OK).
   - Sumbu y (x=0) dan 2x+y=10 -> (0,10). Cek: 0+2(10)=20 >= 10 (OK). Titik (0,10) adalah sudut.
   - Sumbu x (y=0) dan 4x+y=12 -> (3,0). Cek: 3+2(0)=3 < 10 (TIDAK OK).
   - Sumbu x (y=0) dan 2x+y=10 -> (5,0). Cek: 5+2(0)=5 < 10 (TIDAK OK).
   - Sumbu x (y=0) dan x+2y=10 -> (10,0). Cek: 4(10)+0=40 > 12 (TIDAK OK).
   
   Titik-titik sudut yang valid adalah:
   A = (0, 5) (Perpotongan x=0 dan x+2y=10)
   B = (2, 4) (Perpotongan 4x+y=12 dan x+2y=10)
   C = (1, 8) (Perpotongan 4x+y=12 dan 2x+y=10)
   D = (0, 10) (Perpotongan x=0 dan 2x+y=10)
   
   Koordinat titik sudutnya adalah: (0, 5), (2, 4), (1, 8), dan (0, 10).

c. Menentukan nilai maksimum dan minimum fungsi tujuan f(x,y) = 12x + 20y:
   Kita evaluasi fungsi tujuan di setiap titik sudut:
   - Di (0, 5): f(0, 5) = 12(0) + 20(5) = 0 + 100 = 100
   - Di (2, 4): f(2, 4) = 12(2) + 20(4) = 24 + 80 = 104
   - Di (1, 8): f(1, 8) = 12(1) + 20(8) = 12 + 160 = 172
   - Di (0, 10): f(0, 10) = 12(0) + 20(10) = 0 + 200 = 200

   Nilai maksimum fungsi tujuan adalah 200, terjadi di titik (0, 10).
   Nilai minimum fungsi tujuan adalah 100, terjadi di titik (0, 5).