Diketahui sistem pertidaksamaan linear; x+y<= 50,2y<=x +

Nilai maksimum dari 3x + 5y adalah 210.

Pembahasan

Untuk mencari nilai maksimum dari fungsi tujuan 3x + 5y berdasarkan sistem pertidaksamaan linear, kita perlu menentukan titik-titik pojok dari daerah yang memenuhi pertidaksamaan tersebut.

Sistem Pertidaksamaan:
1. x + y <= 50
2. 2y <= x + 40  => x - 2y >= -40
3. x >= 0
4. y >= 0

Langkah 1: Tentukan titik potong dari garis-garis yang berkaitan dengan pertidaksamaan.

*   Garis x + y = 50:
    Jika x = 0, y = 50. Titik (0, 50).
    Jika y = 0, x = 50. Titik (50, 0).

*   Garis x - 2y = -40:
    Jika x = 0, -2y = -40 => y = 20. Titik (0, 20).
    Jika y = 0, x = -40. Titik (-40, 0). Namun, karena x >= 0, titik ini tidak relevan untuk daerah yang memenuhi.

*   Titik potong antara x + y = 50 dan x - 2y = -40:
    Kurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama:
    (x + y) - (x - 2y) = 50 - (-40)
    3y = 90
    y = 30
    Substitusikan y = 30 ke x + y = 50:
    x + 30 = 50
    x = 20
    Titik potong: (20, 30).

Langkah 2: Tentukan titik-titik pojok yang memenuhi semua pertidaksamaan.
Karena x >= 0 dan y >= 0, kita berada di kuadran pertama.

Titik-titik pojok yang mungkin adalah:
*   Perpotongan sumbu y dengan batas daerah: (0, 20) (dari x - 2y = -40 dan x=0)
*   Perpotongan sumbu x dengan batas daerah: (50, 0) (dari x + y = 50 dan y=0)
*   Perpotongan kedua garis: (20, 30) (dari x + y = 50 dan x - 2y = -40)
*   Titik asal (0,0) juga merupakan batas, namun tidak relevan untuk mencari maksimum jika ada titik lain yang lebih besar.

Kita perlu memeriksa apakah titik-titik ini memenuhi semua pertidaksamaan:

1.  Titik (0, 20):
    *   0 + 20 <= 50 (Benar)
    *   2*20 <= 0 + 40 => 40 <= 40 (Benar)
    *   0 >= 0 (Benar)
    *   20 >= 0 (Benar)
    Titik (0, 20) valid.

2.  Titik (50, 0):
    *   50 + 0 <= 50 (Benar)
    *   2*0 <= 50 + 40 => 0 <= 90 (Benar)
    *   50 >= 0 (Benar)
    *   0 >= 0 (Benar)
    Titik (50, 0) valid.

3.  Titik (20, 30):
    *   20 + 30 <= 50 => 50 <= 50 (Benar)
    *   2*30 <= 20 + 40 => 60 <= 60 (Benar)
    *   20 >= 0 (Benar)
    *   30 >= 0 (Benar)
    Titik (20, 30) valid.

Langkah 3: Substitusikan titik-titik pojok ke dalam fungsi tujuan 3x + 5y.

*   Untuk (0, 20): 3(0) + 5(20) = 0 + 100 = 100
*   Untuk (50, 0): 3(50) + 5(0) = 150 + 0 = 150
*   Untuk (20, 30): 3(20) + 5(30) = 60 + 150 = 210

Nilai maksimum dari 3x + 5y adalah 210.

Jawaban ringkas: Nilai maksimum dari 3x + 5y adalah 210.