Diketahui sistem pertidaksamaan {y <= x^(2)+3 x+2 y >= x+2.

x ≤ -2 atau x ≥ 0

Pembahasan

Kita diberikan sistem pertidaksamaan:
y ≤ x² + 3x + 2
y ≥ x + 2
Kita ingin mencari himpunan penyelesaian untuk x. Untuk menemukan batas-batas x, kita perlu mencari titik potong antara kedua kurva tersebut. Titik potong terjadi ketika kedua persamaan y sama.
Jadi, kita samakan kedua persamaan y:
x² + 3x + 2 = x + 2
Kurangi kedua sisi dengan (x + 2):
x² + 3x + 2 - (x + 2) = 0
x² + 3x + 2 - x - 2 = 0
x² + 2x = 0
Faktorkan x dari persamaan:
x(x + 2) = 0
Ini memberikan dua solusi untuk x:
x = 0 atau x + 2 = 0, yang berarti x = -2.
Jadi, kedua kurva berpotongan pada x = -2 dan x = 0.
Sekarang kita perlu menentukan di interval mana pertidaksamaan terpenuhi. Kita bisa menguji nilai x di antara -2 dan 0 (misalnya x = -1) dan di luar interval tersebut (misalnya x = -3 dan x = 1).
Pada x = -1:
Persamaan pertama: y = (-1)² + 3(-1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0
Pertidaksamaan pertama: y ≤ 0
Pertanyaan kedua: y = -1 + 2 = 1
Pertidaksamaan kedua: y ≥ 1
Jika y ≤ 0 dan y ≥ 1, tidak ada nilai y yang memenuhi. Ini berarti di x = -1, tidak ada solusi.
Mari kita periksa kembali pemahaman soal. Soal meminta himpunan penyelesaian untuk x dimana y ≤ x² + 3x + 2 DAN y ≥ x + 2.
Ini berarti kita mencari nilai x dimana parabola (x² + 3x + 2) berada di atas atau berpotongan dengan garis (x + 2).
Kita sudah menemukan titik potongnya di x = -2 dan x = 0.
Parabola y = x² + 3x + 2 terbuka ke atas. Garis y = x + 2 memiliki gradien positif.
Karena parabola terbuka ke atas, parabola akan berada di atas garis di luar interval antara titik potongnya.
Jadi, kita perlu x ≤ -2 atau x ≥ 0.