Diketahui suku banyak berderajat 3 dalan x: f(x)=x^3+3px+q

Jika f(x) = x³ + 3px + q memiliki faktor (x-k)², maka p = -k², q = 2k³, dan 4p³ + q² = 0.

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan sifat-sifat suku banyak (polinomial) yang memiliki faktor berulang.

Diketahui suku banyak f(x) = x³ + 3px + q berderajat 3 dalam x.
Diketahui bahwa (x-k)² adalah faktor dari f(x).

a. Tunjukkan bahwa p = -k².

Karena (x-k)² adalah faktor dari f(x), ini berarti x=k adalah akar ganda dari f(x). Akibatnya, f(k) = 0 dan f'(k) = 0, di mana f'(x) adalah turunan pertama dari f(x).

Pertama, cari turunan f(x):
f'(x) = d/dx (x³ + 3px + q)
f'(x) = 3x² + 3p

Sekarang, terapkan kondisi f'(k) = 0:
f'(k) = 3k² + 3p = 0
3p = -3k²
p = -k²
Ini menunjukkan bahwa p memang sama dengan -k².

b. Tentukan q dalam bentuk k.

Karena x=k adalah akar dari f(x), maka f(k) = 0.
Substitusikan x=k ke dalam f(x):
f(k) = k³ + 3p(k) + q = 0
k³ + 3pk + q = 0

Kita sudah tahu dari bagian (a) bahwa p = -k². Substitusikan nilai p ini ke dalam persamaan f(k)=0:
k³ + 3(-k²)(k) + q = 0
k³ - 3k³ + q = 0
-2k³ + q = 0
q = 2k³
Jadi, q dalam bentuk k adalah 2k³.

c. Tunjukkan bahwa 4p³ + q² = 0.

Kita memiliki hasil dari bagian (a) dan (b):
p = -k²
q = 2k³

Sekarang, substitusikan nilai p dan q ini ke dalam ekspresi 4p³ + q²:
4p³ + q² = 4(-k²)³ + (2k³)². 
Ingat bahwa (-k²)³ = (-1)³(k²)³ = -k⁶, dan (2k³)². = 2²(k³)². = 4k⁶.

Jadi,
4p³ + q² = 4(-k⁶) + 4k⁶
4p³ + q² = -4k⁶ + 4k⁶
4p³ + q² = 0

Ini menunjukkan bahwa 4p³ + q² memang sama dengan 0.

Kesimpulan:
Untuk suku banyak f(x) = x³ + 3px + q yang memiliki faktor (x-k)², terbukti bahwa:
a. p = -k²
b. q = 2k³
c. 4p³ + q² = 0