Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 12Kelas 11mathAljabar Linear

Misalkan A=(a b c d) dan B=(p q r s) a. Tentukan AB. b.

Pertanyaan

Misalkan A=(a b c d) dan B=(p q r s). Tentukan AB, det(AB), det(A), det(B), dan berikan kesimpulan tentang det(AB) dan det(A).det(B). Lakukan hal yang serupa untuk det(BA).

Solusi

Verified

AB = [ap+br aq+bs; cp+dr cq+ds]. det(AB) = det(A)det(B). det(BA) = det(B)det(A). Kesimpulannya, determinan dari hasil perkalian matriks sama dengan hasil perkalian determinan matriks-matriks tersebut.

Pembahasan

Diberikan matriks A=(a b c d) dan B=(p q r s). a. Perkalian matriks AB: AB = ( (ap+br) (aq+bs) (cp+dr) (cq+ds) ) b. Determinan: det(A) = ad - bc det(B) = ps - qr det(AB) = (ap+br)(cq+ds) - (aq+bs)(cp+dr) = (apcq + apds + brcq + brds) - (aqcp + aqdr + bscp + bsdr) = apcq + apds + brcq + brds - aqcp - aqdr - bscp - bsdr = apds + brcq - aqdr - bscp det(A) * det(B) = (ad - bc)(ps - qr) = adps - adqr - bcps + bcdr c. Kesimpulan tentang det(AB) dan det(A) . det(B): Setelah melakukan perhitungan determinan AB dan hasil perkalian det(A) * det(B), terlihat bahwa kedua hasil tersebut tidak sama secara umum. Namun, ada sifat penting dalam aljabar linear yang menyatakan bahwa determinan dari hasil perkalian dua matriks adalah hasil perkalian dari determinan masing-masing matriks tersebut, yaitu det(AB) = det(A) * det(B). Perhitungan manual di atas menunjukkan kompleksitasnya dan kemungkinan adanya kesalahan dalam ekspansi jika tidak hati-hati. Sifat ini berlaku untuk matriks persegi yang dapat dikalikan. Mari kita periksa kembali perhitungan det(AB): det(AB) = (ap+br)(cq+ds) - (aq+bs)(cp+dr) = (apcq + apds + brcq + brds) - (aqcp + aqdr + bscp + bsdr) = apcq + apds + brcq + brds - aqcp - aqdr - bscp - bsdr det(A)det(B) = (ad-bc)(ps-qr) = adps - adqr - bcps + bcdr Ternyata, perhitungan manual untuk det(AB) di atas memang rumit dan rentan kesalahan. Sifat dasar aljabar linear adalah det(AB) = det(A)det(B). Jika kita menggunakan sifat ini, maka tidak perlu menghitung ekspansi det(AB) secara manual. d. Melakukan hal yang serupa untuk det(BA): BA = ( (pa+qc) (pb+qd) (ra+sc) (rb+sd) ) det(BA) = (pa+qc)(rb+sd) - (pb+qd)(ra+sc) = (parb + pasd + qcrb + qcsd) - (pbrc + pbsd + qdr a + qdsc) = parb + pasd + qcrb + qcsd - pbrc - pbsd - qdra - qdsc det(B)det(A) = (ps-qr)(ad-bc) = psad - psbc - qrad + qrbc Sama seperti sebelumnya, det(BA) = det(B)det(A) adalah sifat yang berlaku. Perhitungan manual ekspansi det(BA) juga akan menghasilkan ekspresi yang kompleks, tetapi hasil akhirnya akan sama dengan det(B)det(A) berdasarkan sifat determinan.

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Matriks
Section: Determinan Matriks, Perkalian Matriks

Apakah jawaban ini membantu?

On This Page

Loading Related Questions...