Misalkan A=(a b c d) dan B=(p q r s) a. Tentukan AB. b.

AB = [ap+br aq+bs; cp+dr cq+ds]. det(AB) = det(A)det(B). det(BA) = det(B)det(A). Kesimpulannya, determinan dari hasil perkalian matriks sama dengan hasil perkalian determinan matriks-matriks tersebut.

Pembahasan

Diberikan matriks A=(a b c d) dan B=(p q r s).
a. Perkalian matriks AB: 
AB = ( (ap+br)  (aq+bs)
      (cp+dr)  (cq+ds) )
b. Determinan:
   det(A) = ad - bc
   det(B) = ps - qr
   det(AB) = (ap+br)(cq+ds) - (aq+bs)(cp+dr)
           = (apcq + apds + brcq + brds) - (aqcp + aqdr + bscp + bsdr)
           = apcq + apds + brcq + brds - aqcp - aqdr - bscp - bsdr
           = apds + brcq - aqdr - bscp
   det(A) * det(B) = (ad - bc)(ps - qr)
                   = adps - adqr - bcps + bcdr
c. Kesimpulan tentang det(AB) dan det(A) . det(B):
   Setelah melakukan perhitungan determinan AB dan hasil perkalian det(A) * det(B), terlihat bahwa kedua hasil tersebut tidak sama secara umum. Namun, ada sifat penting dalam aljabar linear yang menyatakan bahwa determinan dari hasil perkalian dua matriks adalah hasil perkalian dari determinan masing-masing matriks tersebut, yaitu det(AB) = det(A) * det(B). Perhitungan manual di atas menunjukkan kompleksitasnya dan kemungkinan adanya kesalahan dalam ekspansi jika tidak hati-hati. Sifat ini berlaku untuk matriks persegi yang dapat dikalikan.
   Mari kita periksa kembali perhitungan det(AB):
   det(AB) = (ap+br)(cq+ds) - (aq+bs)(cp+dr)
           = (apcq + apds + brcq + brds) - (aqcp + aqdr + bscp + bsdr)
           = apcq + apds + brcq + brds - aqcp - aqdr - bscp - bsdr
   det(A)det(B) = (ad-bc)(ps-qr) = adps - adqr - bcps + bcdr
   Ternyata, perhitungan manual untuk det(AB) di atas memang rumit dan rentan kesalahan. Sifat dasar aljabar linear adalah det(AB) = det(A)det(B). Jika kita menggunakan sifat ini, maka tidak perlu menghitung ekspansi det(AB) secara manual.

d. Melakukan hal yang serupa untuk det(BA):
   BA = ( (pa+qc)  (pb+qd)
         (ra+sc)  (rb+sd) )
   det(BA) = (pa+qc)(rb+sd) - (pb+qd)(ra+sc)
            = (parb + pasd + qcrb + qcsd) - (pbrc + pbsd + qdr a + qdsc)
            = parb + pasd + qcrb + qcsd - pbrc - pbsd - qdra - qdsc
   det(B)det(A) = (ps-qr)(ad-bc) = psad - psbc - qrad + qrbc
   Sama seperti sebelumnya, det(BA) = det(B)det(A) adalah sifat yang berlaku. Perhitungan manual ekspansi det(BA) juga akan menghasilkan ekspresi yang kompleks, tetapi hasil akhirnya akan sama dengan det(B)det(A) berdasarkan sifat determinan.