Diketahui kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 1 cm. Tentukan

1 cm

Pembahasan

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 1 cm. Kita ingin menentukan jarak titik H ke garis AC.

Mari kita letakkan kubus dalam sistem koordinat Kartesius. Misalkan titik A berada di titik asal (0,0,0). Maka koordinat titik-titik lainnya adalah:
A = (0,0,0)
C = (1,1,0)
H = (0,1,1)

Jarak dari titik H ke garis AC dapat dihitung menggunakan rumus jarak titik ke garis dalam ruang tiga dimensi, atau dengan mencari tinggi segitiga siku-siku HAC.

Perhatikan segitiga siku-siku HAC. Sisi-sisinya adalah:
AC = diagonal bidang alas = $\\sqrt{1^2 + 1^2} = \\sqrt{2}$ cm
AH = diagonal bidang sisi = $\\sqrt{1^2 + 1^2} = \\sqrt{2}$ cm
HC = rusuk = 1 cm

Segitiga HAC adalah segitiga siku-siku di H karena AH tegak lurus dengan HC (karena AH adalah diagonal bidang ADHE dan HC adalah rusuk yang berpotongan di H).

Misalkan d adalah jarak dari titik H ke garis AC. Jarak ini adalah tinggi segitiga HAC dari titik H ke sisi AC.

Luas segitiga HAC dapat dihitung dengan dua cara:
1. Menggunakan alas AH dan tinggi HC (karena siku-siku di H):
Luas = $1/2 \times alas \times tinggi = 1/2 \times AH \times HC = 1/2 \times \\sqrt{2} \times 1 = \\frac{\\sqrt{2}}{2}$ cm$^2$

2. Menggunakan alas AC dan tinggi d (jarak H ke AC):
Luas = $1/2 \times alas \times tinggi = 1/2 \times AC \times d = 1/2 \times \\sqrt{2} \times d$

Menyamakan kedua rumus luas:
$$ \frac{\\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} \times \\sqrt{2} \times d $$ 

Membagi kedua sisi dengan $1/2 \\sqrt{2}$:
$$ d = \frac{\\frac{\\sqrt{2}}{2}}{\\frac{\\sqrt{2}}{2}} = 1 $$ 

Jadi, jarak titik H ke garis AC adalah 1 cm.