Diketahui tan (45+a)=2 3/7 dan sec (360-1/2 b)=1/2 akar(5),

sin(a+2b) = 253/325 dan cos(2a+b) = -123/845

Pembahasan

Untuk menghitung sin(a+2b) dan cos(2a+b), kita perlu menentukan nilai sin dan cos dari sudut a dan b terlebih dahulu.

Dari tan(45+a) = 2 3/7 = 17/7:
Kita bisa menggunakan identitas tan(A+B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA tanB).
Karena tan(45) = 1, maka (1 + tan a) / (1 - tan a) = 17/7.
7(1 + tan a) = 17(1 - tan a)
7 + 7 tan a = 17 - 17 tan a
24 tan a = 10
tan a = 10/24 = 5/12.
Karena a adalah sudut lancip, maka sin a = 5/13 dan cos a = 12/13.

Dari sec(360 - 1/2 b) = 1/2 akar(5):
Kita tahu bahwa sec(360 - x) = sec(x). Jadi, sec(1/2 b) = 1/2 akar(5).
Ini berarti cos(1/2 b) = 2 / akar(5) = 2 akar(5) / 5.
Karena b adalah sudut lancip, maka 1/2 b juga lancip.
Kita bisa menggunakan identitas cos(2x) = 2cos^2(x) - 1.
Untuk mencari cos b, kita gunakan cos b = 2cos^2(1/2 b) - 1.
cos b = 2 * (2/akar(5))^2 - 1
cos b = 2 * (4/5) - 1
cos b = 8/5 - 1
cos b = 3/5.
Karena b adalah sudut lancip, maka sin b = 4/5.

Sekarang kita hitung sin(a+2b) dan cos(2a+b):
Untuk sin(a+2b):
sin(a+2b) = sin a cos(2b) + cos a sin(2b)
Kita perlu cos(2b) dan sin(2b).
cos(2b) = cos^2 b - sin^2 b = (3/5)^2 - (4/5)^2 = 9/25 - 16/25 = -7/25.
sin(2b) = 2 sin b cos b = 2 * (4/5) * (3/5) = 24/25.

sin(a+2b) = (5/13) * (-7/25) + (12/13) * (24/25)
sin(a+2b) = -35/325 + 288/325
sin(a+2b) = 253/325.

Untuk cos(2a+b):
cos(2a+b) = cos(2a) cos b - sin(2a) sin b
Kita perlu cos(2a) dan sin(2a).
cos(2a) = cos^2 a - sin^2 a = (12/13)^2 - (5/13)^2 = 144/169 - 25/169 = 119/169.
sin(2a) = 2 sin a cos a = 2 * (5/13) * (12/13) = 120/169.

cos(2a+b) = (119/169) * (3/5) - (120/169) * (4/5)
cos(2a+b) = 357/845 - 480/845
cos(2a+b) = -123/845.