Diketahui titik A(4 , 1), B(7 , 5), dan C(4,9). Jika titik

(1, 5)

Pembahasan

Diketahui titik-titik A(4, 1), B(7, 5), dan C(4, 9). Titik-titik ini dihubungkan untuk membentuk belah ketupat ABCD. Dalam belah ketupat, diagonal-diagonalnya saling berpotongan tegak lurus dan saling membagi dua sama panjang. Selain itu, sisi-sisi yang berhadapan sejajar.

Kita bisa menggunakan sifat vektor atau sifat jarak antar titik untuk menemukan koordinat D.

Metode 1: Menggunakan sifat vektor.
Dalam belah ketupat ABCD, vektor \(\vec{AB} = \vec{DC}\).
\(\vec{AB} = B - A = (7 - 4, 5 - 1) = (3, 4)\)

Misalkan D = (x, y). Maka, \(\vec{DC} = C - D = (4 - x, 9 - y)\).
Karena \(\vec{AB} = \vec{DC}\), maka:
\(3 = 4 - x \implies x = 4 - 3 = 1\)
\(4 = 9 - y \implies y = 9 - 4 = 5\)

Jadi, koordinat titik D adalah (1, 5).

Metode 2: Menggunakan sifat diagonal.
Titik A dan C memiliki koordinat x yang sama (yaitu 4). Ini berarti diagonal AC sejajar dengan sumbu y.
Panjang AC = |9 - 1| = 8.

Titik B memiliki koordinat x = 7 dan y = 5.
Untuk membentuk belah ketupat, titik D harus memiliki jarak yang sama dari titik tengah diagonal AC seperti titik B, dan terletak pada garis yang tegak lurus terhadap AC.

Titik tengah AC adalah \(M = (\frac{4+4}{2}, \frac{1+9}{2}) = (4, 5)\).
Karena diagonal AC vertikal, maka diagonal BD harus horizontal. Ini berarti koordinat y dari B dan D harus sama, yaitu 5. Namun, ini akan menghasilkan jajargenjang jika B dan D memiliki y yang sama. Ini kontradiksi dengan sifat belah ketupat.

Mari kita cek kembali sifat belah ketupat. Sisi-sisi yang berdekatan sama panjang. AB = BC = CD = DA.

Jarak AB = \(\sqrt{(7-4)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5\)
Jarak BC = \(\sqrt{(4-7)^2 + (9-5)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5\)

Karena AB = BC, maka ini adalah belah ketupat atau persegi. Jika ABCD adalah belah ketupat, maka \(\vec{AD} = \vec{BC}\) atau \(\vec{CD} = \vec{BA}\).

Menggunakan \(\vec{AD} = \vec{BC}\):
\(D - A = C - B\)
\(D = A + C - B\)
\(D = (4, 1) + (4, 9) - (7, 5)\)
\(D = (4+4-7, 1+9-5)\)
\(D = (1, 5)\)

Koordinat titik D adalah (1, 5).