Diketahui titik A(5,3,1), B(5,-3,5), dan C(2,5,-3). Jika

$\vec{PC} = -3\hat{i} + \frac{23}{4}\hat{j} - \frac{13}{2}\hat{k}$

Pembahasan

Untuk menentukan vektor $\vec{PC}$ dan menyatakannya dalam vektor basis, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1.  **Tentukan vektor $\vec{AB}$:**
    Vektor $\vec{AB} = B - A = (5-5, -3-3, 5-1) = (0, -6, 4)$.

2.  **Tentukan posisi titik P:**
    Titik P membagi AB dengan perbandingan $AP:PB = 5:3$. Ini berarti P dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari A dan B:
    $P = \frac{3A + 5B}{3+5} = \frac{3A + 5B}{8}$
    $P = \frac{3(5,3,1) + 5(5,-3,5)}{8}$
    $P = \frac{(15,9,3) + (25,-15,25)}{8}$
    $P = \frac{(15+25, 9-15, 3+25)}{8}$
    $P = \frac{(40, -6, 28)}{8}$
    $P = (5, -\frac{6}{8}, \frac{28}{8}) = (5, -\frac{3}{4}, \frac{7}{2})$.

3.  **Tentukan vektor $\vec{PC}$:**
    Vektor $\vec{PC} = C - P$
    $\vec{PC} = (2, 5, -3) - (5, -\frac{3}{4}, \frac{7}{2})$
    $\vec{PC} = (2-5, 5-(-\frac{3}{4}), -3-\frac{7}{2})$
    $\vec{PC} = (-3, 5+\frac{3}{4}, -3-\frac{7}{2})$
    Untuk menjumlahkan/mengurangkan pecahan, samakan penyebutnya:
    $\vec{PC} = (-3, \frac{20}{4}+\frac{3}{4}, -\frac{6}{2}-\frac{7}{2})$
    $\vec{PC} = (-3, \frac{23}{4}, -\frac{13}{2})$

4.  **Nyatakan dalam vektor basis:**
    Vektor basis adalah vektor-vektor satuan $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ yang searah dengan sumbu x, y, dan z positif.
    $\vec{PC} = -3\hat{i} + \frac{23}{4}\hat{j} - \frac{13}{2}\hat{k}$

Jadi, vektor $\vec{PC}$ adalah $(-3, \frac{23}{4}, -\frac{13}{2})$ atau dalam vektor basis adalah $-3\hat{i} + \frac{23}{4}\hat{j} - \frac{13}{2}\hat{k}$