Tentukan asimtot datar dan asimtot tegak (jika ada) dari

Asimtot datar: y=4, Asimtot tegak: x=1 dan x=2

Pembahasan

Untuk menentukan asimtot datar dan asimtot tegak dari fungsi rasional $f(x) = \frac{4x^2 - 2x + 1}{x^2 - 3x + 2}$, kita perlu menganalisis perilaku fungsi ketika $x$ mendekati tak hingga (untuk asimtot datar) dan ketika penyebut mendekati nol (untuk asimtot tegak).

**1. Asimtot Datar (Horizontal Asymptote)**

Asimtot datar ditentukan dengan membandingkan derajat polinomial di pembilang dan penyebut.
Fungsi kita adalah $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$, di mana $P(x) = 4x^2 - 2x + 1$ dan $Q(x) = x^2 - 3x + 2$.

Derajat polinomial pembilang (derajat $P(x)$) adalah 2 (karena suku dengan pangkat tertinggi adalah $4x^2$).
Derajat polinomial penyebut (derajat $Q(x)$) adalah 2 (karena suku dengan pangkat tertinggi adalah $x^2$).

Aturan untuk asimtot datar:
* Jika derajat pembilang < derajat penyebut, asimtot datarnya adalah $y=0$.
* Jika derajat pembilang = derajat penyebut, asimtot datarnya adalah $y = \frac{\text{koefisien suku pangkat tertinggi di pembilang}}{\text{koefisien suku pangkat tertinggi di penyebut}}$.
* Jika derajat pembilang > derajat penyebut, tidak ada asimtot datar (mungkin ada asimtot miring).

Dalam kasus ini, derajat pembilang sama dengan derajat penyebut (keduanya adalah 2).
Koefisien suku pangkat tertinggi di pembilang adalah 4.
Koefisien suku pangkat tertinggi di penyebut adalah 1.

Maka, asimtot datarnya adalah $y = \frac{4}{1} = 4$.

**2. Asimtot Tegak (Vertical Asymptote)**

Asimtot tegak terjadi pada nilai-nilai $x$ di mana penyebut fungsi sama dengan nol, asalkan pembilang tidak sama dengan nol pada nilai $x$ tersebut.

Kita perlu mencari akar-akar dari penyebut $Q(x) = x^2 - 3x + 2 = 0$.
Kita bisa memfaktorkan persamaan kuadrat ini:
$(x - 1)(x - 2) = 0$

Ini memberikan dua nilai $x$ yang membuat penyebut menjadi nol:
$x - 1 = 0 \implies x = 1$
$x - 2 = 0 \implies x = 2$

Sekarang, kita perlu memeriksa apakah pembilang $P(x) = 4x^2 - 2x + 1$ bernilai nol pada $x=1$ dan $x=2$.

Untuk $x=1$:
$P(1) = 4(1)^2 - 2(1) + 1 = 4 - 2 + 1 = 3$.
Karena $P(1) = 3 \neq 0$, maka $x=1$ adalah asimtot tegak.

Untuk $x=2$:
$P(2) = 4(2)^2 - 2(2) + 1 = 4(4) - 4 + 1 = 16 - 4 + 1 = 13$.
Karena $P(2) = 13 \neq 0$, maka $x=2$ adalah asimtot tegak.

**Kesimpulan:**
*   Asimtot datar: $y = 4$
*   Asimtot tegak: $x = 1$ dan $x = 2$