Diketahui titik P(1,0,0), Q(2,1,3) , dan R(-1,4,5) .

(6/11, 6/11, 18/11)

Pembahasan

Untuk mencari proyeksi ortogonal vektor QR pada QP, kita perlu menghitung vektor QR dan vektor QP terlebih dahulu.

Vektor QR = R - Q = (-1 - 2, 4 - 1, 5 - 3) = (-3, 3, 2)
Vektor QP = P - Q = (1 - 2, 0 - 1, 0 - 3) = (-1, -1, -3)

Proyeksi ortogonal vektor QR pada QP dirumuskan sebagai:
proyeksi_QR_pada_QP = ((QR · QP) / |QP|^2) * QP

Hitung dot product (QR · QP):
QR · QP = (-3)(-1) + (3)(-1) + (2)(-3) = 3 - 3 - 6 = -6

Hitung kuadrat panjang vektor QP (|QP|^2):
|QP|^2 = (-1)^2 + (-1)^2 + (-3)^2 = 1 + 1 + 9 = 11

Masukkan nilai-nilai tersebut ke dalam rumus proyeksi:
proyeksi_QR_pada_QP = (-6 / 11) * QP = (-6 / 11) * (-1, -1, -3)
proyeksi_QR_pada_QP = (6/11, 6/11, 18/11)

Jadi, proyeksi ortogonal vektor QR pada QP adalah (6/11, 6/11, 18/11).