Diketahui titik-titik P(5,3,5), Q(6,2,4), dan R(5,4,5).

Kosinus sudut antara vektor PQ dan PR adalah -sqrt(3)/3.

Pembahasan

Untuk mencari kosinus sudut antara dua vektor, kita dapat menggunakan rumus hasil kali titik (dot product).

Diketahui titik-titik P(5,3,5), Q(6,2,4), dan R(5,4,5).

Langkah 1: Tentukan vektor PQ dan vektor PR.
Vektor PQ = Q - P = (6-5, 2-3, 4-5) = (1, -1, -1)
Vektor PR = R - P = (5-5, 4-3, 5-5) = (0, 1, 0)

Langkah 2: Hitung hasil kali titik (dot product) dari vektor PQ dan PR.
PQ · PR = (1)(0) + (-1)(1) + (-1)(0)
PQ · PR = 0 - 1 + 0
PQ · PR = -1

Langkah 3: Hitung panjang (magnitude) dari masing-masing vektor.
Panjang vektor PQ = |PQ| = sqrt(1^2 + (-1)^2 + (-1)^2)
|PQ| = sqrt(1 + 1 + 1)
|PQ| = sqrt(3)

Panjang vektor PR = |PR| = sqrt(0^2 + 1^2 + 0^2)
|PR| = sqrt(0 + 1 + 0)
|PR| = sqrt(1)
|PR| = 1

Langkah 4: Gunakan rumus kosinus sudut antara dua vektor.
cos θ = (PQ · PR) / (|PQ| * |PR|)
cos θ = -1 / (sqrt(3) * 1)
cos θ = -1 / sqrt(3)

Untuk merasionalkan penyebutnya:
cos θ = (-1 * sqrt(3)) / (sqrt(3) * sqrt(3))
cos θ = -sqrt(3) / 3

Jadi, kosinus sudut antara vektor PQ dan vektor PR adalah -sqrt(3)/3.