Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan sin x=-cos

Himpunan penyelesaiannya adalah {165°, 345°}.

Pembahasan

Kita perlu menyelesaikan persamaan $\sin x = -\cos(60^{\circ} - x)$ untuk $0 \le x \le 360^{\circ}$.

Kita bisa menggunakan identitas trigonometri $\cos(\theta) = \sin(90^{\circ} - \theta)$. Maka, $-\cos(60^{\circ} - x) = -\sin(90^{\circ} - (60^{\circ} - x)) = -\sin(30^{\circ} + x)$.

Jadi, persamaan menjadi $\sin x = -\sin(30^{\circ} + x)$.

Menggunakan identitas $\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$, kita dapat menulis $-\sin(30^{\circ} + x) = \sin(-(30^{\circ} + x)) = \sin(-30^{\circ} - x)$.

Maka, $\sin x = \sin(-30^{\circ} - x)$.

Dari sini, ada dua kemungkinan solusi umum:
1. $x = -30^{\circ} - x + k \cdot 360^{\circ}$
   $2x = -30^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}$
   $x = -15^{\circ} + k \cdot 180^{\circ}$
   Untuk $k=1$, $x = -15^{\circ} + 180^{\circ} = 165^{\circ}$.
   Untuk $k=2$, $x = -15^{\circ} + 360^{\circ} = 345^{\circ}$.

2. $x = 180^{\circ} - (-30^{\circ} - x) + k \cdot 360^{\circ}$
   $x = 180^{\circ} + 30^{\circ} + x + k \cdot 360^{\circ}$
   $x = 210^{\circ} + x + k \cdot 360^{\circ}$
   $0 = 210^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}$
   Ini tidak memberikan solusi yang valid karena $k$ harus bilangan bulat.

Mari kita cek kembali identitasnya. Kita bisa juga menggunakan $\cos(\theta) = \sin(90^{\circ} + \theta)$.
Maka, $-\cos(60^{\circ} - x) = -\sin(90^{\circ} + (60^{\circ} - x)) = -\sin(150^{\circ} - x)$.

Jadi, $\sin x = -\sin(150^{\circ} - x) = \sin(-(150^{\circ} - x)) = \sin(x - 150^{\circ})$.

Maka, $\sin x = \sin(x - 150^{\circ})$.

Dari sini, ada dua kemungkinan solusi umum:
1. $x = x - 150^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}$
   $0 = -150^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}$
   Ini tidak memberikan solusi yang valid.

2. $x = 180^{\circ} - (x - 150^{\circ}) + k \cdot 360^{\circ}$
   $x = 180^{\circ} - x + 150^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}$
   $x = 330^{\circ} - x + k \cdot 360^{\circ}$
   $2x = 330^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}$
   $x = 165^{\circ} + k \cdot 180^{\circ}$
   Untuk $k=0$, $x = 165^{\circ}$.
   Untuk $k=1$, $x = 165^{\circ} + 180^{\circ} = 345^{\circ}$.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {165°, 345°}.