Diketahui vektor a=(-2 3 4) dan vektor b=(x 0 3). Jika

4

Pembahasan

Diketahui vektor a = (-2, 3, 4) dan vektor b = (x, 0, 3).
Panjang proyeksi vektor a pada vektor b diberikan oleh rumus:
Proyeksi_a_pada_b = (a · b) / |b|

Di mana a · b adalah hasil kali titik (dot product) vektor a dan b, dan |b| adalah panjang (magnitudo) vektor b.

Langkah 1: Hitung hasil kali titik a · b.
a · b = (-2)(x) + (3)(0) + (4)(3)
a · b = -2x + 0 + 12
a · b = 12 - 2x

Langkah 2: Hitung panjang vektor b, |b|.
|b| = sqrt(x^2 + 0^2 + 3^2)
|b| = sqrt(x^2 + 0 + 9)
|b| = sqrt(x^2 + 9)

Langkah 3: Gunakan informasi bahwa panjang proyeksi adalah 4/5.
(a · b) / |b| = 4/5
(12 - 2x) / sqrt(x^2 + 9) = 4/5

Langkah 4: Selesaikan persamaan untuk x.
5 * (12 - 2x) = 4 * sqrt(x^2 + 9)
60 - 10x = 4 * sqrt(x^2 + 9)

Kuadratkan kedua sisi untuk menghilangkan akar:
(60 - 10x)^2 = (4 * sqrt(x^2 + 9))^2
3600 - 1200x + 100x^2 = 16 * (x^2 + 9)
3600 - 1200x + 100x^2 = 16x^2 + 144

Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk persamaan kuadrat:
100x^2 - 16x^2 - 1200x + 3600 - 144 = 0
84x^2 - 1200x + 3456 = 0

Kita bisa menyederhanakan persamaan ini dengan membaginya dengan faktor persekutuan terbesar. Mari kita coba bagi dengan 12:
(84/12)x^2 - (1200/12)x + (3456/12) = 0
7x^2 - 100x + 288 = 0

Sekarang kita bisa menggunakan rumus kuadrat untuk mencari nilai x: x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a
Dalam kasus ini, a=7, b=-100, c=288.
x = [100 ± sqrt((-100)^2 - 4 * 7 * 288)] / (2 * 7)
x = [100 ± sqrt(10000 - 8064)] / 14
x = [100 ± sqrt(1936)] / 14
x = [100 ± 44] / 14

Dua kemungkinan solusi untuk x:
x1 = (100 + 44) / 14 = 144 / 14 = 72 / 7
x2 = (100 - 44) / 14 = 56 / 14 = 4

Kita perlu memeriksa kedua solusi ini pada persamaan asli (60 - 10x) = 4 * sqrt(x^2 + 9) karena pengkuadratan bisa menghasilkan solusi palsu.
Untuk x = 4:
60 - 10(4) = 60 - 40 = 20
4 * sqrt(4^2 + 9) = 4 * sqrt(16 + 9) = 4 * sqrt(25) = 4 * 5 = 20
Karena 20 = 20, x = 4 adalah solusi yang valid.

Untuk x = 72/7:
60 - 10(72/7) = 60 - 720/7 = (420 - 720)/7 = -300/7
4 * sqrt((72/7)^2 + 9) = 4 * sqrt(5184/49 + 441/49) = 4 * sqrt(5625/49) = 4 * (75/7) = 300/7
Karena -300/7 ≠ 300/7, x = 72/7 bukan solusi yang valid.

Jadi, salah satu nilai x yang memenuhi adalah 4.