Diketahui vektor a=2i-3j+ck dan vektor b=4i-2j+4k. Jika

c = 6

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan rumus hasil kali titik (dot product) antara dua vektor dan rumus kosinus sudut antara dua vektor.

Diberikan vektor a = 2i - 3j + ck dan vektor b = 4i - 2j + 4k.

Hasil kali titik vektor a dan b adalah:
a . b = (2)(4) + (-3)(-2) + (c)(4)
a . b = 8 + 6 + 4c
a . b = 14 + 4c

Besar vektor a (|a|) adalah:
|a| = sqrt(2² + (-3)² + c²)
|a| = sqrt(4 + 9 + c²)
|a| = sqrt(13 + c²)

Besar vektor b (|b|) adalah:
|b| = sqrt(4² + (-2)² + 4²)
|b| = sqrt(16 + 4 + 16)
|b| = sqrt(36)
|b| = 6

Rumus kosinus sudut antara dua vektor adalah:
cos θ = (a . b) / (|a| |b|)

Diketahui cosinus yang terbentuk antara vektor a dan vektor b adalah 19/21.
Maka:
19/21 = (14 + 4c) / (sqrt(13 + c²) * 6)

Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita perlu mengkuadratkan kedua sisi:
(19/21)² = (14 + 4c)² / (36 * (13 + c²))
361/441 = (196 + 112c + 16c²) / (468 + 36c²)

Perkalian silang:
361 * (468 + 36c²) = 441 * (196 + 112c + 16c²)
169128 + 12996c² = 86436 + 49392c + 7056c²

Kita pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk persamaan kuadrat:
(12996 - 7056)c² - 49392c + (169128 - 86436) = 0
5940c² - 49392c + 82692 = 0

Kita bisa menyederhanakan persamaan ini dengan membagi semua suku dengan faktor persekutuan terbesar. Mari kita coba membagi dengan 12:
495c² - 4116c + 6891 = 0

Untuk menemukan nilai c, kita bisa menggunakan rumus kuadrat atau mencoba memfaktorkan. Namun, sebelum melanjutkan, mari kita periksa kembali perhitungan. Ada kemungkinan kesalahan dalam penyederhanaan atau perhitungan awal.

Mari kita kembali ke persamaan:
19/21 = (14 + 4c) / (6 * sqrt(13 + c²))

Jika kita mengasumsikan ada solusi yang mudah, kita bisa mencoba beberapa nilai c. Namun, penyelesaian aljabar langsung akan lebih akurat.

Mari kita coba mengisolasi akar kuadrat:
(19 * 6 * sqrt(13 + c²)) / 21 = 14 + 4c
(19 * 2 * sqrt(13 + c²)) / 7 = 14 + 4c
(38/7) * sqrt(13 + c²) = 14 + 4c

Kuadratkan kedua sisi:
(38²/7²) * (13 + c²) = (14 + 4c)²
(1444/49) * (13 + c²) = 196 + 112c + 16c²
1444 * 13 / 49 + 1444/49 c² = 196 + 112c + 16c²
381.63 + 29.47c² ≈ 196 + 112c + 16c²

(29.47 - 16)c² - 112c + (381.63 - 196) ≈ 0
13.47c² - 112c + 185.63 ≈ 0

Ini masih menghasilkan persamaan kuadrat yang kompleks. Mari kita cek ulang informasi soal atau kemungkinan adanya penyederhanaan yang terlewat.

Jika kita perhatikan hasil kali titik (14 + 4c) dan nilai kosinus (19/21), serta besaran vektor |b|=6, mari kita coba jika ada nilai c yang membuat penyebut atau pembilang menjadi lebih sederhana.

Misalkan kita cek kembali perhitungan awal:
a . b = 14 + 4c
|a| = sqrt(13 + c²)
|b| = 6
cos θ = 19/21

(14 + 4c) / (6 * sqrt(13 + c²)) = 19/21

Jika kita coba nilai c = 3:
a . b = 14 + 4(3) = 14 + 12 = 26
|a| = sqrt(13 + 3²) = sqrt(13 + 9) = sqrt(22)
|b| = 6
cos θ = 26 / (6 * sqrt(22)) = 13 / (3 * sqrt(22)) = 13 * sqrt(22) / (3 * 22) = 13 * sqrt(22) / 66
Ini tidak sama dengan 19/21.

Jika kita coba nilai c = -3:
a . b = 14 + 4(-3) = 14 - 12 = 2
|a| = sqrt(13 + (-3)²) = sqrt(13 + 9) = sqrt(22)
cos θ = 2 / (6 * sqrt(22)) = 1 / (3 * sqrt(22)) = sqrt(22) / 66
Ini juga tidak sama.

Mari kita periksa apakah ada cara lain untuk memecahkan ini. Persamaan yang kita dapatkan adalah 5940c² - 49392c + 82692 = 0. Mari kita gunakan rumus kuadrat:

c = [-b ± sqrt(b² - 4ac)] / 2a
c = [49392 ± sqrt((-49392)² - 4 * 5940 * 82692)] / (2 * 5940)
c = [49392 ± sqrt(2439577744 - 1954482720)] / 11880
c = [49392 ± sqrt(485095024)] / 11880
c = [49392 ± 22024.87] / 11880

Ada dua kemungkinan nilai c:
c1 = (49392 + 22024.87) / 11880 = 71416.87 / 11880 ≈ 6.01
c2 = (49392 - 22024.87) / 11880 = 27367.13 / 11880 ≈ 2.30

Karena hasil ini tidak bulat, ada kemungkinan ada kesalahan dalam soal atau dalam interpretasi. Namun, berdasarkan perhitungan yang ada, kita telah sampai pada penyelesaian persamaan kuadrat. 

Jika kita asumsikan bahwa soal ini dirancang untuk memiliki jawaban yang lebih sederhana, mungkin ada kesalahan ketik dalam angka-angkanya. 

Namun, jika kita harus memberikan jawaban berdasarkan perhitungan:
Nilai c adalah solusi dari persamaan 5940c² - 49392c + 82692 = 0.
Setelah disederhanakan menjadi 495c² - 4116c + 6891 = 0, nilai c dapat dihitung menggunakan rumus kuadrat.

Namun, mari kita coba pendekatan lain. Jika kita perhatikan 19/21, ini bisa disederhanakan dari pembagian dua bilangan. Misalkan kita coba kembali ke persamaan:
(14 + 4c) / (6 * sqrt(13 + c²)) = 19/21

Jika c=3, cos = 13 * sqrt(22) / 66
Jika c=4, a.b = 14+16=30, |a|=sqrt(13+16)=sqrt(29), cos = 30/(6*sqrt(29))=5/sqrt(29)

Jika kita perhatikan soal yang seringkali memiliki jawaban bulat, mari kita cek jika ada nilai c yang membuat 14+4c kelipatan 19 dan 6*sqrt(13+c^2) kelipatan 21, atau sebaliknya.

Mari kita coba memeriksa apakah nilai c=3/2 memberikan hasil yang masuk akal.
Jika c = 3/2:
a.b = 14 + 4(3/2) = 14 + 6 = 20
|a| = sqrt(13 + (3/2)²) = sqrt(13 + 9/4) = sqrt((52+9)/4) = sqrt(61/4) = sqrt(61)/2
cos θ = 20 / (6 * sqrt(61)/2) = 20 / (3 * sqrt(61)) = 20 * sqrt(61) / (3 * 61) = 20 * sqrt(61) / 183

Ini juga tidak cocok. Mari kita kembali ke persamaan kuadrat.
5940c² - 49392c + 82692 = 0
Kita bisa membagi dengan 12: 495c² - 4116c + 6891 = 0

Mari kita coba membagi dengan 3 lagi: 165c² - 1372c + 2297 = 0

Menggunakan rumus kuadrat pada 165c² - 1372c + 2297 = 0:
c = [1372 ± sqrt((-1372)² - 4 * 165 * 2297)] / (2 * 165)
c = [1372 ± sqrt(1882384 - 1515060)] / 330
c = [1372 ± sqrt(367324)] / 330
c = [1372 ± 606.07] / 330

c1 = (1372 + 606.07) / 330 = 1978.07 / 330 ≈ 5.99
c2 = (1372 - 606.07) / 330 = 765.93 / 330 ≈ 2.32

Nilai c ≈ 6 atau c ≈ 2.3. Angka 5.99 sangat dekat dengan 6. Mari kita cek jika c=6:
a.b = 14 + 4(6) = 14 + 24 = 38
|a| = sqrt(13 + 6²) = sqrt(13 + 36) = sqrt(49) = 7
cos θ = 38 / (7 * 6) = 38 / 42 = 19 / 21

Jadi, nilai c adalah 6.