Hitunglah nilai limit fungsi trigonometri berikut. limit x

Nilai limitnya adalah 0.

Pembahasan

Kita diminta untuk menghitung nilai limit fungsi trigonometri berikut:
$\lim_{x \to \pi} \frac{1 + \cos x}{\tan x}$

Langkah pertama adalah mencoba substitusi langsung nilai $x = \pi$ ke dalam fungsi:
$1 + \cos(\pi) = 1 + (-1) = 0$
$	an(\pi) = 0$

Karena kita mendapatkan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$, kita bisa menggunakan aturan L'Hôpital atau mengubah bentuk fungsi trigonometri.

**Menggunakan Aturan L'Hôpital:**
Aturan L'Hôpital menyatakan bahwa jika $\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)}$ menghasilkan bentuk $\frac{0}{0}$ atau $\frac{\infty}{\infty}$, maka limit tersebut sama dengan $\lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$, asalkan limit turunan tersebut ada.

Turunan dari pembilang ($f(x) = 1 + \cos x$) adalah $f'(x) = -\sin x$.
Turunan dari penyebut ($g(x) = \tan x$) adalah $g'(x) = \sec^2 x$.

Maka, limitnya menjadi:
$\lim_{x \to \pi} \frac{-\sin x}{\sec^2 x}$

Sekarang substitusikan $x = \pi$:
$\frac{-\sin(\pi)}{\sec^2(\pi)} = \frac{-0}{(-1)^2} = \frac{0}{1} = 0$

**Menggunakan Identitas Trigonometri:**
Kita bisa mengubah $\tan x$ menjadi $\frac{\sin x}{\cos x}$.
$\lim_{x \to \pi} \frac{1 + \cos x}{\frac{\sin x}{\cos x}} = \lim_{x \to \pi} \frac{(1 + \cos x) \cos x}{\sin x}$

Kita juga bisa menggunakan identitas $1 + \cos x = 2\cos^2(\frac{x}{2})$ dan $\sin x = 2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2})$. Namun, ini mungkin lebih rumit.

Mari kita gunakan identitas $1 + \cos x$ dan manipulasi $\sin x$:
$\lim_{x \to \pi} \frac{1 + \cos x}{\sin x} \times \lim_{x \to \pi} \cos x$

Untuk $\lim_{x \to \pi} \frac{1 + \cos x}{\sin x}$, kita bisa kalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat dari pembilang:
$\lim_{x \to \pi} \frac{(1 + \cos x)(1 - \cos x)}{\sin x (1 - \cos x)} = \lim_{x \to \pi} \frac{1 - \cos^2 x}{\sin x (1 - \cos x)} = \lim_{x \to \pi} \frac{\sin^2 x}{\sin x (1 - \cos x)} = \lim_{x \to \pi} \frac{\sin x}{1 - \cos x}$

Sekarang substitusikan $x = \pi$:
$\frac{\sin(\pi)}{1 - \cos(\pi)} = \frac{0}{1 - (-1)} = \frac{0}{2} = 0$

Dan $\lim_{x \to \pi} \cos x = \cos(\pi) = -1$.

Jadi, limitnya adalah $0 	imes (-1) = 0$.

Kedua metode memberikan hasil yang sama.

Nilai limit fungsi trigonometri tersebut adalah 0.