Diketahui vektor a=2i-6j-3k dan vektor b=4i+2j-4k.

Panjang proyeksi b pada a adalah 8/7. Proyeksi skalar a pada b adalah 4/3. Proyeksi skalar b pada a adalah 8/7. Proyeksi vektor b pada a adalah (16/49)i - (48/49)j - (24/49)k.

Pembahasan

Diketahui vektor $\mathbf{a} = 2\mathbf{i} - 6\mathbf{j} - 3\mathbf{k}$ dan vektor $\mathbf{b} = 4\mathbf{i} + 2\mathbf{j} - 4\mathbf{k}$.

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menghitung beberapa hal terkait proyeksi vektor:

**a. Panjang proyeksi vektor b pada vektor a**

Panjang proyeksi vektor $\mathbf{b}$ pada vektor $\mathbf{a}$ dirumuskan sebagai: $Prj_a \mathbf{b} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}|}$.

Pertama, kita hitung dot product (hasil kali titik) $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$:
$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (2)(4) + (-6)(2) + (-3)(-4) = 8 - 12 + 12 = 8$.

Kedua, kita hitung panjang (magnitudo) vektor $\mathbf{a}$, $|\mathbf{a}|$. Jika $\mathbf{a} = a_1\mathbf{i} + a_2\mathbf{j} + a_3\mathbf{k}$, maka $|\mathbf{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$.
$|\mathbf{a}| = \sqrt{2^2 + (-6)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 36 + 9} = \sqrt{49} = 7$.

Maka, panjang proyeksi vektor $\mathbf{b}$ pada vektor $\mathbf{a}$ adalah:
$Prj_a \mathbf{b} = \frac{8}{7}$.

**b. Proyeksi skalar ortogonal vektor a pada vektor b**

Proyeksi skalar ortogonal vektor $\mathbf{a}$ pada vektor $\mathbf{b}$ sama dengan panjang proyeksi vektor $\mathbf{a}$ pada vektor $\mathbf{b}$. Rumusnya adalah: $Prj_b \mathbf{a} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}$.

Kita sudah menghitung $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 8$.
Sekarang kita hitung panjang vektor $\mathbf{b}$, $|\mathbf{b}|$.
$|\mathbf{b}| = \sqrt{4^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6$.

Maka, proyeksi skalar ortogonal vektor $\mathbf{a}$ pada vektor $\mathbf{b}$ adalah:
$Prj_b \mathbf{a} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.

**c. Proyeksi skalar ortogonal vektor b pada vektor a**

Ini sama dengan bagian (a), yaitu panjang proyeksi vektor $\mathbf{b}$ pada vektor $\mathbf{a}$.
$Prj_a \mathbf{b} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}|} = \frac{8}{7}$.

**d. Proyeksi vektor b pada vektor a**

Proyeksi vektor $\mathbf{b}$ pada vektor $\mathbf{a}$ dirumuskan sebagai: $Prj_{\mathbf{a}} \mathbf{b} = \left(\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}|^2}\right) \mathbf{a}$.

Kita sudah memiliki $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 8$ dan $|\mathbf{a}| = 7$, sehingga $|\mathbf{a}|^2 = 7^2 = 49$.

Maka, proyeksi vektor $\mathbf{b}$ pada vektor $\mathbf{a}$ adalah:
$Prj_{\mathbf{a}} \mathbf{b} = \left(\frac{8}{49}\right) (2\mathbf{i} - 6\mathbf{j} - 3\mathbf{k})
= \frac{16}{49}\mathbf{i} - \frac{48}{49}\mathbf{j} - \frac{24}{49}\mathbf{k}$.

**Ringkasan Jawaban:**
a. Panjang proyeksi vektor $\mathbf{b}$ pada vektor $\mathbf{a}$ adalah $\frac{8}{7}$.
b. Proyeksi skalar ortogonal vektor $\mathbf{a}$ pada vektor $\mathbf{b}$ adalah $\frac{4}{3}$.
c. Proyeksi skalar ortogonal vektor $\mathbf{b}$ pada vektor $\mathbf{a}$ adalah $\frac{8}{7}$.
d. Proyeksi vektor $\mathbf{b}$ pada vektor $\mathbf{a}$ adalah $\frac{16}{49}\mathbf{i} - \frac{48}{49}\mathbf{j} - \frac{24}{49}\mathbf{k}$.