Diketahui vektor a=(4 -5 3) dan b=(3 2 -2)Tentukan:proyeksi

(4/25, -28/25, 4/5)

Pembahasan

Untuk menentukan proyeksi vektor ortogonal (a + 2b) pada (b - a), kita perlu melakukan langkah-langkah berikut:

1. Hitung vektor (a + 2b):
a = (4, -5, 3)
b = (3, 2, -2)
2b = 2 * (3, 2, -2) = (6, 4, -4)
a + 2b = (4, -5, 3) + (6, 4, -4) = (4+6, -5+4, 3-4) = (10, -1, -1)

2. Hitung vektor (b - a):
b - a = (3, 2, -2) - (4, -5, 3) = (3-4, 2-(-5), -2-3) = (-1, 7, -5)

3. Hitung proyeksi vektor ortogonal (a + 2b) pada (b - a).
Rumus proyeksi vektor ortogonal vektor u pada vektor v adalah:
proj_v u = ((u . v) / |v|^2) * v

Di sini, u = (a + 2b) = (10, -1, -1) dan v = (b - a) = (-1, 7, -5).

Hitung dot product (u . v):
(a + 2b) . (b - a) = (10)(-1) + (-1)(7) + (-1)(-5)
= -10 - 7 + 5
= -12

Hitung kuadrat panjang vektor v (|v|^2):
|v|^2 = |b - a|^2 = (-1)^2 + (7)^2 + (-5)^2
= 1 + 49 + 25
= 75

Sekarang, substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus proyeksi:
proj_(b-a) (a+2b) = (-12 / 75) * (-1, 7, -5)
= (-4 / 25) * (-1, 7, -5)
= ((-4/25)*(-1), (-4/25)*(7), (-4/25)*(-5))
= (4/25, -28/25, 20/25)
= (4/25, -28/25, 4/5)

Jadi, proyeksi vektor ortogonal (a + 2b) pada (b - a) adalah (4/25, -28/25, 4/5).