Diketahui vektor OA=i+j+2k dan vektor OB=i+2j+3k. Titik M

Nilai (vektor OA.vektor AM) adalah 3√7.

Pembahasan

Diketahui vektor OA = i + j + 2k dan vektor OB = i + 2j + 3k. Titik M terletak pada garis AB sehingga |vektor AM| = |vektor OB|. Pertama, kita cari vektor AB = OB - OA = (i + 2j + 3k) - (i + j + 2k) = j + k. Nilai |vektor OB| = sqrt(1^2 + 2^2 + 3^2) = sqrt(1 + 4 + 9) = sqrt(14). Karena M terletak pada garis AB dan |vektor AM| = |vektor OB|, maka vektor AM adalah vektor satuan AB dikalikan dengan |vektor OB|. Vektor satuan AB = AB / |AB|. AB = j + k, jadi |AB| = sqrt(1^2 + 1^2) = sqrt(2). Vektor satuan AB = (j + k) / sqrt(2). Maka, vektor AM = (sqrt(14) / sqrt(2)) * (j + k) / sqrt(2) = sqrt(7) * (j + k) / sqrt(2) = sqrt(3.5) * (j + k). Namun, ada cara yang lebih mudah. Karena M terletak pada garis AB, vektor AM sejajar dengan vektor AB. Jika |vektor AM| = |vektor OB|, maka vektor AM = k * vektor AB, di mana k adalah skalar. Panjang vektor AM adalah |k| * |vektor AB|. Kita punya |vektor AM| = |vektor OB| = sqrt(14). Jadi, |k| * sqrt(2) = sqrt(14), yang berarti |k| = sqrt(7). Karena M terletak pada garis AB, kita bisa asumsikan M membagi AB dengan perbandingan tertentu. Jika M terletak di antara A dan B, maka vektor AM = lambda * vektor AB, dengan 0 < lambda < 1. Jika M di luar segmen AB, lambda bisa negatif atau lebih besar dari 1. Dengan asumsi M berada pada segmen AB, vektor AM = lambda * (j + k). Panjang |vektor AM| = lambda * |j+k| = lambda * sqrt(2). Kita diberikan |vektor AM| = |vektor OB| = sqrt(14). Maka, lambda * sqrt(2) = sqrt(14), sehingga lambda = sqrt(7). Nilai dari (vektor OA . vektor AM) = (i + j + 2k) . (sqrt(7) * (j + k)) = (i + j + 2k) . (sqrt(7)j + sqrt(7)k). Perkalian titik: (1*0)i + (1*sqrt(7))j + (2*sqrt(7))k = sqrt(7)j + 2*sqrt(7)k. Nilai skalar dari hasil ini adalah 0 + sqrt(7) + 2*sqrt(7) = 3*sqrt(7). Jika kita menginterpretasikan |vektor AM| = |vektor OB| sebagai panjang vektor AM sama dengan panjang vektor OB, dan M terletak pada garis AB. Vektor AB = OB - OA = (i+2j+3k) - (i+j+2k) = j+k. Vektor AM = k * AB = k(j+k). Panjang vektor AM = |k| * |j+k| = |k|*sqrt(2). Panjang vektor OB = sqrt(1^2+2^2+3^2) = sqrt(14). Jadi, |k|*sqrt(2) = sqrt(14) => |k| = sqrt(7). Jika M terletak pada perpanjangan AB setelah B, k = sqrt(7). Vektor AM = sqrt(7)*(j+k). Vektor OA . Vektor AM = (i+j+2k) . sqrt(7)*(j+k) = (i+j+2k) . (sqrt(7)j + sqrt(7)k). = (1*0) + (1*sqrt(7)) + (2*sqrt(7)) = 3*sqrt(7).