Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 10Kelas 12Kelas 11mathVektor

Diketahui vektor satuan a=(3/5 4/5)^t dan vektor b=(12/13

Pertanyaan

Diketahui vektor satuan a=(3/5 4/5)^t dan vektor b=(12/13 -5/13)^t. Tentukan vektor satuan c sehingga besar sudut antara vektor c dan vektor a akan sama dengan besar sudut antara vektor c dan vektor b.

Solusi

Verified

Vektor satuan c adalah (11/sqrt(130), 3/sqrt(130)).

Pembahasan

Diketahui vektor satuan a = (3/5, 4/5) dan vektor satuan b = (12/13, -5/13). Kita mencari vektor satuan c = (cx, cy) sehingga sudut antara c dan a sama dengan sudut antara c dan b. Ini berarti bahwa vektor c membagi sudut antara vektor a dan vektor b menjadi dua sama besar. Dalam kasus vektor satuan, ini berarti bahwa proyeksi vektor c pada vektor a dan vektor b memiliki hubungan tertentu, atau lebih sederhana, kita bisa menggunakan sifat bahwa vektor yang membagi sudut antara dua vektor adalah hasil penjumlahan kedua vektor tersebut (setelah dinormalisasi jika perlu). Karena a dan b sudah merupakan vektor satuan, kita bisa menjumlahkannya terlebih dahulu: c' = a + b c' = (3/5 + 12/13, 4/5 + (-5/13)) c' = ((3*13 + 12*5) / (5*13), (4*13 + (-5)*5) / (5*13)) c' = ((39 + 60) / 65, (52 - 25) / 65) c' = (99/65, 27/65) Sekarang, kita perlu mengubah vektor c' menjadi vektor satuan c dengan membaginya dengan magnitudonya (panjangnya). Magnitudo c' (||c'||) = sqrt((99/65)^2 + (27/65)^2) ||c'|| = sqrt((9801 / 4225) + (729 / 4225)) ||c'|| = sqrt((9801 + 729) / 4225) ||c'|| = sqrt(10530 / 4225) ||c'|| = sqrt(10530) / 65 Vektor satuan c = c' / ||c'|| c = (99/65) / (sqrt(10530)/65), (27/65) / (sqrt(10530)/65) c = (99 / sqrt(10530), 27 / sqrt(10530)) Kita bisa menyederhanakan pembilang dan penyebut dengan membagi dengan faktor persekutuan terbesar dari 99 dan 27, yaitu 9. sqrt(10530) = sqrt(9 * 1170) = 3 * sqrt(1170) c = (99 / (3 * sqrt(1170)), 27 / (3 * sqrt(1170))) c = (33 / sqrt(1170), 9 / sqrt(1170)) Mari kita periksa apakah sqrt(1170) bisa disederhanakan lagi. 1170 = 117 * 10 = 9 * 13 * 2 * 5. Tidak ada kuadrat sempurna lain selain 9. Jadi, vektor satuan c adalah (33/sqrt(1170), 9/sqrt(1170)). Namun, ada cara lain yang lebih umum menggunakan sifat sudut: Jika sudut antara c dan a sama dengan sudut antara c dan b, maka cos(sudut(c,a)) = cos(sudut(c,b)). (c . a) / (||c|| ||a||) = (c . b) / (||c|| ||b||) Karena a dan b adalah vektor satuan, ||a|| = 1 dan ||b|| = 1. Karena c juga vektor satuan, ||c|| = 1. c . a = c . b (cx, cy) . (3/5, 4/5) = (cx, cy) . (12/13, -5/13) (3/5)cx + (4/5)cy = (12/13)cx - (5/13)cy Untuk menyederhanakan, kalikan kedua sisi dengan 65 (KPK dari 5 dan 13): (65 * 3/5)cx + (65 * 4/5)cy = (65 * 12/13)cx - (65 * 5/13)cy 39cx + 52cy = 60cx - 25cy Pindahkan semua ke satu sisi: 52cy + 25cy = 60cx - 39cx 77cy = 21cx Bagi kedua sisi dengan 7: 11cy = 3cx Ini berarti perbandingan antara cx dan cy adalah cx/cy = 11/3. Jadi, kita bisa menulis cx = 11k dan cy = 3k untuk suatu konstanta k. Vektor c = (11k, 3k). Karena c adalah vektor satuan, magnitudonya harus 1: ||c|| = sqrt((11k)^2 + (3k)^2) = 1 sqrt(121k^2 + 9k^2) = 1 sqrt(130k^2) = 1 k * sqrt(130) = 1 k = 1 / sqrt(130) Jadi, vektor c adalah: cx = 11 * (1 / sqrt(130)) = 11/sqrt(130) cy = 3 * (1 / sqrt(130)) = 3/sqrt(130) Vektor satuan c = (11/sqrt(130), 3/sqrt(130)). Perbandingan 33/sqrt(1170) dan 9/sqrt(1170) yang diperoleh sebelumnya jika disederhanakan: 33/sqrt(9*130) = 33/(3*sqrt(130)) = 11/sqrt(130) 9/sqrt(9*130) = 9/(3*sqrt(130)) = 3/sqrt(130) Hasilnya sama. Jadi, vektor satuan c adalah (11/sqrt(130), 3/sqrt(130)).

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Operasi Vektor, Sudut Antar Vektor
Section: Vektor Satuan, Vektor Pembagi Sudut

Apakah jawaban ini membantu?