Diketahui (x-5) dan (x+3) adalah faktor dari persamaan suku

9

Pembahasan

Diketahui persamaan suku banyak 2x^3 + px^2 + qx + 15 = 0, dengan (x-5) dan (x+3) sebagai faktornya. Ini berarti bahwa x=5 dan x=-3 adalah akar-akar dari persamaan tersebut.

Menurut Teorema Sisa dan Teorema Faktor:
Jika (x-a) adalah faktor dari sebuah polinomial P(x), maka P(a) = 0.

Untuk x=5:
P(5) = 2(5)^3 + p(5)^2 + q(5) + 15 = 0
     = 2(125) + 25p + 5q + 15 = 0
     = 250 + 25p + 5q + 15 = 0
     = 25p + 5q + 265 = 0
     Bagi dengan 5: 5p + q + 53 = 0  ...(Persamaan 1)

Untuk x=-3:
P(-3) = 2(-3)^3 + p(-3)^2 + q(-3) + 15 = 0
      = 2(-27) + 9p - 3q + 15 = 0
      = -54 + 9p - 3q + 15 = 0
      = 9p - 3q - 39 = 0
      Bagi dengan 3: 3p - q - 13 = 0  ...(Persamaan 2)

Sekarang kita memiliki sistem dua persamaan linear dengan dua variabel (p dan q):
1) 5p + q = -53
2) 3p - q = 13

Jumlahkan Persamaan 1 dan Persamaan 2:
(5p + q) + (3p - q) = -53 + 13
8p = -40
p = -5

Substitusikan nilai p ke Persamaan 2:
3(-5) - q = 13
-15 - q = 13
-q = 13 + 15
-q = 28
q = -28

Jadi, persamaan suku banyaknya adalah 2x^3 - 5x^2 - 28x + 15 = 0.

Kita tahu bahwa x1=5 dan x2=-3 adalah dua akar. Misalkan akar ketiga adalah x3. Menurut Vieta:
Jumlah akar: x1 + x2 + x3 = -p/a
                 5 + (-3) + x3 = -(-5)/2
                 2 + x3 = 5/2
                 x3 = 5/2 - 2
                 x3 = 5/2 - 4/2
                 x3 = 1/2

Akar-akarnya adalah 5, -3, dan 1/2. Urutkan dari yang terbesar ke terkecil: x1 = 5, x2 = 1/2, x3 = -3.

Ditanya nilai dari x1 + 2x2 - x3:
= 5 + 2(1/2) - (-3)
= 5 + 1 + 3
= 9