Diketahui y=(3x^2-2)/x dan (dy)/(dx)=4 f(x) dengan f(x)

1

Pembahasan

Diketahui y = (3x^2 - 2)/x. Pertama, kita cari turunannya, dy/dx. Kita bisa menulis ulang y sebagai y = 3x - 2/x = 3x - 2x^-1. Maka, dy/dx = 3 - 2(-1)x^-2 = 3 + 2x^-2 = 3 + 2/x^2. Soal menyatakan bahwa dy/dx = 4f(x). Jadi, 3 + 2/x^2 = 4f(x), yang berarti f(x) = (3 + 2/x^2)/4 = 3/4 + 1/(2x^2). Kita diminta untuk mencari nilai integral dari 1 sampai 2 f(x) dx, yaitu ∫(3/4 + 1/(2x^2)) dx dari 1 sampai 2. Integral dari 3/4 dx adalah (3/4)x. Integral dari 1/(2x^2) dx = (1/2) ∫x^-2 dx = (1/2)(-1)x^-1 = -1/(2x). Jadi, integral tak tentunya adalah (3/4)x - 1/(2x). Sekarang kita evaluasi dari 1 sampai 2: [(3/4)(2) - 1/(2*2)] - [(3/4)(1) - 1/(2*1)] = [3/2 - 1/4] - [3/4 - 1/2] = [6/4 - 1/4] - [3/4 - 2/4] = 5/4 - 1/4 = 4/4 = 1. Jadi, nilai integral dari 1 sampai 2 f(x) dx adalah 1.