Diketahui [y x]=[2 1 -1 x]^(-1) [4 -1] dengan x=/=1/2.

2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menghitung invers matriks terlebih dahulu, lalu mengalikannya dengan matriks [4 -1].
Misalkan matriks A = [y x] dan B = [2 1 -1 x]. Maka, A = B⁻¹ [4 -1]. Ini berarti B * A = [4 -1].

B * A = [2 1] * [y]
        [-1 x]   [x]

B * A = [2y + x]
        [-y + x²]

Sehingga, kita dapat membentuk sistem persamaan:
1) 2y + x = 4
2) -y + x² = -1

Dari persamaan (1), kita bisa dapatkan 2y = 4 - x, atau y = (4 - x) / 2.
Substitusikan nilai y ke persamaan (2):
-((4 - x) / 2) + x² = -1
Kalikan seluruhnya dengan 2:
-(4 - x) + 2x² = -2
-4 + x + 2x² = -2
2x² + x - 4 + 2 = 0
2x² + x - 2 = 0

Menggunakan rumus kuadrat untuk mencari x:
x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a
x = [-1 ± √(1² - 4 * 2 * -2)] / (2 * 2)
x = [-1 ± √(1 + 16)] / 4
x = [-1 ± √17] / 4

Jika kita memilih salah satu nilai x (misalnya, x = (-1 + √17) / 4), kita bisa mencari y. Namun, kita perlu mencari nilai (1/2)x + y.

Mari kita coba cara lain. Jika [y x] = [2 1 -1 x]^(-1) [4 -1], maka:
[y]
[x]

Kita perlu menghitung invers dari matriks [2 1 -1 x].
Determinan (det) = (2 * x) - (1 * -1) = 2x + 1.
Invers matriks = (1 / det) * [x -1]
                                      [1  2]

Jadi, [y]
      [x]
      = (1 / (2x + 1)) * [x -1]
                           [1  2]
                       * [4]
                         [-1]

[y]
[x]
      = (1 / (2x + 1)) * [ (x * 4) + (-1 * -1) ]
                           [ (1 * 4) + (2 * -1) ]

[y]
[x]
      = (1 / (2x + 1)) * [ 4x + 1 ]
                           [ 4 - 2 ]

[y]
[x]
      = (1 / (2x + 1)) * [ 4x + 1 ]
                           [ 2 ]

Ini memberikan kita dua persamaan:
1) y = (4x + 1) / (2x + 1)
2) x = 2 / (2x + 1)

Dari persamaan (2), kita dapatkan x(2x + 1) = 2, sehingga 2x² + x = 2, atau 2x² + x - 2 = 0. Ini sama dengan hasil sebelumnya.

Sekarang kita perlu menghitung (1/2)x + y.
Substitusikan nilai y dari persamaan (1):
(1/2)x + y = (1/2)x + (4x + 1) / (2x + 1)
Samakan penyebutnya:
(1/2)x + y = [ (1/2)x * (2x + 1) + (4x + 1) ] / (2x + 1)
(1/2)x + y = [ x² + (1/2)x + 4x + 1 ] / (2x + 1)
(1/2)x + y = [ x² + (9/2)x + 1 ] / (2x + 1)

Dari persamaan (2) yang kita punya: x = 2 / (2x + 1). Ini berarti 2x + 1 = 2 / x.
Substitusikan 2x + 1:
(1/2)x + y = [ x² + (9/2)x + 1 ] / (2 / x)
(1/2)x + y = (x / 2) * [ x² + (9/2)x + 1 ]
(1/2)x + y = (1/2)x³ + (9/4)x² + (1/2)x

Ini masih terlihat rumit. Mari kita lihat lagi persamaan (2) dari hasil perkalian matriks:
-y + x² = -1 => y = x² + 1.

Substitusikan ini ke persamaan (1):
2(x² + 1) + x = 4
2x² + 2 + x = 4
2x² + x - 2 = 0.

Sekarang kita hitung (1/2)x + y.
Kita tahu y = x² + 1.
Jadi, (1/2)x + y = (1/2)x + (x² + 1) = x² + (1/2)x + 1.

Dari persamaan 2x² + x - 2 = 0, kita bisa dapatkan x² = (2 - x) / 2 = 1 - (1/2)x.
Substitusikan nilai x²:
(1/2)x + y = (1 - (1/2)x) + (1/2)x + 1
(1/2)x + y = 1 + 1
(1/2)x + y = 2.

Jadi, nilai (1/2)x + y adalah 2.