Dua bilangan bulat m dan n memenuhi hubungan 2m-n=40. Nilai

Nilai minimum dari p = m^2 + n^2 adalah 320.

Pembahasan

Kita diberikan hubungan 2m - n = 40, di mana m dan n adalah bilangan bulat. Kita ingin mencari nilai minimum dari p = m^2 + n^2.

Dari hubungan 2m - n = 40, kita bisa nyatakan n dalam bentuk m:
n = 2m - 40.

Sekarang substitusikan ekspresi n ini ke dalam persamaan p:
p = m^2 + (2m - 40)^2
p = m^2 + (4m^2 - 160m + 1600)
p = 5m^2 - 160m + 1600

Ini adalah fungsi kuadrat dalam bentuk p(m) = am^2 + bm + c, dengan a = 5, b = -160, dan c = 1600. Karena koefisien a (5) positif, parabola terbuka ke atas, yang berarti memiliki nilai minimum.

Nilai minimum dari fungsi kuadrat terjadi pada verteksnya. Absis (nilai m) dari verteks dapat ditemukan menggunakan rumus m = -b / (2a).

m = -(-160) / (2 * 5)
m = 160 / 10
m = 16

Sekarang kita temukan nilai n ketika m = 16:
n = 2m - 40
n = 2(16) - 40
n = 32 - 40
n = -8

Kedua nilai, m = 16 dan n = -8, adalah bilangan bulat, sesuai dengan syarat soal.

Terakhir, kita hitung nilai minimum p dengan mensubstitusikan m = 16 dan n = -8 ke dalam p = m^2 + n^2:
p = (16)^2 + (-8)^2
p = 256 + 64
p = 320

Jadi, nilai minimum dari p = m^2 + n^2 adalah 320.