Fungsi y=4x^3-18x^2+15x-20 mencapai maksimum untuk nilai

1/2

Pembahasan

Untuk mencari nilai x saat fungsi y=4x^3-18x^2+15x-20 mencapai maksimum, kita perlu menggunakan turunan pertama dari fungsi tersebut. Turunan pertama (f'(x)) menunjukkan gradien atau kemiringan kurva pada titik tertentu. Nilai maksimum atau minimum terjadi ketika gradiennya nol (f'(x) = 0).
Langkah 1: Cari turunan pertama dari fungsi y = 4x^3 - 18x^2 + 15x - 20.
 dy/dx = d/dx(4x^3) - d/dx(18x^2) + d/dx(15x) - d/dx(20)
 dy/dx = 12x^2 - 36x + 15
Langkah 2: Setel turunan pertama sama dengan nol untuk mencari nilai kritis (titik stasioner).
12x^2 - 36x + 15 = 0
Kita bisa menyederhanakan persamaan ini dengan membagi semua suku dengan 3:
4x^2 - 12x + 5 = 0
Langkah 3: Selesaikan persamaan kuadrat ini untuk mencari nilai x. Kita bisa menggunakan rumus kuadrat (rumus abc) atau pemfaktoran.
Dengan pemfaktoran:
Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan 4*5 = 20 dan jika dijumlahkan menghasilkan -12. Bilangan tersebut adalah -10 dan -2.
4x^2 - 10x - 2x + 5 = 0
2x(2x - 5) - 1(2x - 5) = 0
(2x - 1)(2x - 5) = 0
Maka, nilai x yang memenuhi adalah:
2x - 1 = 0  =>  2x = 1  =>  x = 1/2
2x - 5 = 0  =>  2x = 5  =>  x = 5/2
Langkah 4: Gunakan turunan kedua untuk menentukan apakah titik-titik kritis tersebut merupakan nilai maksimum atau minimum.
Turunan kedua (d^2y/dx^2) adalah turunan dari turunan pertama.
d^2y/dx^2 = d/dx(12x^2 - 36x + 15)
d^2y/dx^2 = 24x - 36
Sekarang substitusikan nilai x yang kita dapatkan ke dalam turunan kedua:
Untuk x = 1/2:
d^2y/dx^2 = 24(1/2) - 36 = 12 - 36 = -24
Karena turunan kedua negatif, maka pada x = 1/2 fungsi mencapai nilai maksimum.
Untuk x = 5/2:
d^2y/dx^2 = 24(5/2) - 36 = 12(5) - 36 = 60 - 36 = 24
Karena turunan kedua positif, maka pada x = 5/2 fungsi mencapai nilai minimum.
Jadi, fungsi y=4x^3-18x^2+15x-20 mencapai maksimum untuk nilai x = 1/2.