Dua lingkaran L1 dan L2 memiliki persamaan masing-masing

Kedua lingkaran bersinggungan dalam di titik (-4, 0).

Pembahasan

Untuk menunjukkan bahwa kedua lingkaran saling bersinggungan dan menentukan titik singgungnya, kita akan menggunakan dua metode.

Persamaan Lingkaran L1: x² + y² + 2x - 8 = 0
Persamaan Lingkaran L2: x² + y² - 16x - 80 = 0

Metode 1: Menggunakan Jarak Antara Pusat Lingkaran dan Jari-jari

Untuk L1: x² + y² + 2x - 8 = 0
Pusat A = (-1, 0)
Jari-jari r1 = sqrt((-1)² + 0² - (-8)) = sqrt(1 + 8) = sqrt(9) = 3

Untuk L2: x² + y² - 16x - 80 = 0
Pusat B = (8, 0)
Jari-jari r2 = sqrt(8² + 0² - (-80)) = sqrt(64 + 80) = sqrt(144) = 12

Jarak antara pusat A dan B:
AB = sqrt((8 - (-1))² + (0 - 0)²) = sqrt(9² + 0²) = sqrt(81) = 9

Kondisi bersinggungan:
Jika |r1 - r2| = AB atau r1 + r2 = AB.
|3 - 12| = |-9| = 9
r1 + r2 = 3 + 12 = 15

Karena |r1 - r2| = AB (9 = 9), maka kedua lingkaran bersinggungan dalam.

Menentukan Titik Singgung:
Titik singgung T membagi ruas garis AB dengan perbandingan r1 : r2 atau r2 : r1.
Karena bersinggungan dalam, titik singgung T membagi AB dengan perbandingan r2 : r1.
T = (r2*A - r1*B) / (r2 - r1)
T = (12*(-1, 0) - 3*(8, 0)) / (12 - 3)
T = ((-12, 0) - (24, 0)) / 9
T = (-36, 0) / 9
T = (-4, 0)

Verifikasi titik singgung (-4, 0) pada L1:
(-4)² + 0² + 2(-4) - 8 = 16 + 0 - 8 - 8 = 0 (Benar)
Verifikasi titik singgung (-4, 0) pada L2:
(-4)² + 0² - 16(-4) - 80 = 16 + 0 + 64 - 80 = 80 - 80 = 0 (Benar)

Metode 2: Menggunakan Sistem Persamaan

Kurangkan persamaan L1 dari L2 untuk mendapatkan persamaan garis polar (yang merupakan garis singgung jika bersinggungan):
(x² + y² - 16x - 80) - (x² + y² + 2x - 8) = 0
-16x - 80 - 2x + 8 = 0
-18x - 72 = 0
-18x = 72
x = -4

Substitusikan x = -4 ke salah satu persamaan lingkaran, misalnya L1:
(-4)² + y² + 2(-4) - 8 = 0
16 + y² - 8 - 8 = 0
y² = 0
y = 0

Jadi, titik singgungnya adalah (-4, 0).

Kesimpulan:
Kedua lingkaran tersebut bersinggungan dalam di titik (-4, 0).