Find all values of theta, -180<theta<180, for which 2 tan

Nilai theta adalah sekitar 63.43°, -116.57°, -26.57°, dan 153.43°.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan \(2 \tan \theta - 3 = \frac{2}{\tan \theta}\) dalam rentang \(-180^{\circ} < \theta < 180^{\circ}\), kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1.  **Ubah persamaan menjadi bentuk kuadrat dalam \(\tan \theta\):**
    Kalikan kedua sisi persamaan dengan \(\tan \theta\) (dengan asumsi \(\tan \theta \neq 0\)) untuk menghilangkan pembagian:
    \(2 \tan^2 \theta - 3 \tan \theta = 2\)

    Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk mendapatkan persamaan kuadrat:
    \(2 \tan^2 \theta - 3 \tan \theta - 2 = 0\)

2.  **Faktorkan persamaan kuadrat:**
    Kita dapat memfaktorkan persamaan kuadrat ini. Cari dua bilangan yang hasil kalinya \(2 \times -2 = -4\) dan jumlahnya \(-3\). Bilangan tersebut adalah \(-4\) dan \(1\).
    \(2 \tan^2 \theta - 4 \tan \theta + \tan \theta - 2 = 0\)
    \(2 \tan \theta (\tan \theta - 2) + 1 (\tan \theta - 2) = 0\)
    \((2 \tan \theta + 1)(\tan \theta - 2) = 0\)

3.  **Selesaikan untuk \(\tan \theta\):**
    Dari faktorisasi tersebut, kita mendapatkan dua kemungkinan:
    a) \(2 \tan \theta + 1 = 0 \implies \tan \theta = -\frac{1}{2}\)
    b) \(\tan \theta - 2 = 0 \implies \tan \theta = 2\)

4.  **Cari nilai \(\theta\) dalam rentang yang diberikan:**
    Kita perlu mencari nilai \(\theta\) di mana \(\tan \theta = -0.5\) atau \(\tan \theta = 2\) dalam rentang \(-180^{\circ} < \theta < 180^{\circ}\).

    *   **Untuk \(\tan \theta = 2\):**
        Nilai \(\theta\) utama (di kuadran I) adalah \(\arctan(2)\). Menggunakan kalkulator, \(\theta \approx 63.43^{\circ}\).
        Karena \(\tan \theta\) positif di kuadran I dan III, maka solusi lainnya dalam rentang \(-180^{\circ} < \theta < 180^{\circ}\) adalah \(\theta = 63.43^{\circ} - 180^{\circ} = -116.57^{\circ}\).

    *   **Untuk \(\tan \theta = -0.5\):**
        Nilai \(\theta\) utama (di kuadran IV, karena \(\tan\) negatif) adalah \(\arctan(-0.5)\). Menggunakan kalkulator, \(\theta \approx -26.57^{\circ}\).
        Karena \(\tan \theta\) negatif di kuadran II dan IV, maka solusi lainnya dalam rentang \(-180^{\circ} < \theta < 180^{\circ}\) adalah \(\theta = -26.57^{\circ} + 180^{\circ} = 153.43^{\circ}\).

5.  **Periksa asumsi awal (\(\tan \theta \neq 0\)):**
    Nilai \(\tan \theta = 2\) dan \(\tan \theta = -0.5\) keduanya tidak sama dengan nol, jadi solusi kita valid.

Jadi, nilai-nilai \(\theta\) yang memenuhi persamaan dalam rentang \(-180^{\circ} < \theta < 180^{\circ}\) adalah \(\approx 63.43^{\circ}\), \(\approx -116.57^{\circ}\), \(\approx -26.57^{\circ}\), dan \(\approx 153.43^{\circ}\).