Find the value of (1980 + 1982 + 1984 1986 + 1988 +

794/795

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menjumlahkan dan membagi deret aritmatika.

Pembilang: 1980 + 1982 + 1984 + 1986 + 1988 + 1990
Ini adalah deret aritmatika dengan suku pertama (a) = 1980, beda (d) = 2, dan jumlah suku (n) = 6.
Jumlah deret aritmatika = (n/2) * (suku pertama + suku terakhir)
Jumlah pembilang = (6/2) * (1980 + 1990)
Jumlah pembilang = 3 * (3970)
Jumlah pembilang = 11910

Penyebut: 1985 + 1986 + 1987 + 1988 + 1989 + 1990
Ini adalah deret aritmatika dengan suku pertama (a) = 1985, beda (d) = 1, dan jumlah suku (n) = 6.
Jumlah penyebut = (n/2) * (suku pertama + suku terakhir)
Jumlah penyebut = (6/2) * (1985 + 1990)
Jumlah penyebut = 3 * (3975)
Jumlah penyebut = 11925

Nilai dari ekspresi = Jumlah pembilang / Jumlah penyebut
Nilai = 11910 / 11925

Kita bisa menyederhanakan pecahan ini. Perhatikan bahwa kedua bilangan tersebut mendekati nilai yang sama. Mari kita periksa apakah ada hubungan yang lebih sederhana.

Cara lain adalah dengan menggunakan substitusi:
Misalkan x = 1985
Maka pembilang = (x-5) + (x-3) + (x-1) + (x+1) + (x+3) + (x+5)
Jumlah pembilang = 6x

Penyebut = x + (x+1) + (x+2) + (x+3) + (x+4) + (x+5)
Jumlah penyebut = 6x + (1+2+3+4+5)
Jumlah penyebut = 6x + 15

Ini tidak menyederhanakan dengan baik.

Mari kita kembali ke nilai numerik:
Nilai = 11910 / 11925
Kita bisa membagi kedua angka dengan 5:
11910 / 5 = 2382
11925 / 5 = 2385

Nilai = 2382 / 2385
Kita bisa membagi kedua angka dengan 3:
2382 / 3 = 794
2385 / 3 = 795

Nilai = 794 / 795

Mari kita coba pendekatan lain dengan fokus pada rata-rata.
Pembilang: 1980, 1982, 1984, 1986, 1988, 1990. Rata-ratanya adalah (1980+1990)/2 = 1985.
Jumlah pembilang = 6 * 1985 = 11910.

Penyebut: 1985, 1986, 1987, 1988, 1989, 1990. Rata-ratanya adalah (1985+1990)/2 = 1987.5.
Jumlah penyebut = 6 * 1987.5 = 11925.

Nilai = 11910 / 11925 = 794 / 795.

Ada kemungkinan kesalahan dalam penyederhanaan atau pendekatan awal. Mari kita periksa kembali.

Perhatikan pembilang:
(1985-5) + (1985-3) + (1985-1) + (1985+1) + (1985+3) + (1985+5)
= 6 * 1985 + (-5-3-1+1+3+5)
= 6 * 1985 + 0
= 11910

Perhatikan penyebut:
1985 + 1986 + 1987 + 1988 + 1989 + 1990
Kita bisa menulis ulang ini dengan referensi ke 1987.5 (rata-rata)
Atau mari kita gunakan 1987 sebagai referensi.
(1987-2) + (1987-1) + 1987 + (1987+1) + (1987+2) + (1987+3)
Ini tidak cocok karena jumlah suku genap.

Mari kita gunakan 1987.5 sebagai titik tengah.
(1987.5 - 2.5) + (1987.5 - 1.5) + (1987.5 - 0.5) + (1987.5 + 0.5) + (1987.5 + 1.5) + (1987.5 + 2.5)
Jumlah = 6 * 1987.5 + (-2.5 - 1.5 - 0.5 + 0.5 + 1.5 + 2.5)
Jumlah = 6 * 1987.5 + 0
Jumlah = 11925

Jadi, hasil perhitungannya adalah 11910 / 11925 = 794 / 795. 

Mari kita periksa kembali soalnya, apakah ada pola yang lebih mudah.
Jika kita substitusi n = 1985:
Pembilang: (n-5) + (n-3) + (n-1) + (n+1) + (n+3) + (n+5) = 6n
Penyebut: (n) + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4) + (n+5) = 6n + 15

Jadi, ekspresinya adalah (6n) / (6n + 15).
Dengan n = 1985:
(6 * 1985) / (6 * 1985 + 15)
= 11910 / (11910 + 15)
= 11910 / 11925

Ini mengkonfirmasi hasil sebelumnya. Hasilnya adalah 794/795.