Fungsi f: R --> R ditentukan oleh f(x)=1/(x^2-2).a. Carilah

Rumus f^-1(x) adalah ±sqrt((1+2x)/x). f^-1(x) bukan fungsi invers karena f(x) tidak bijektif. Perlu pembatasan daerah asal f(x).

Pembahasan

Untuk mencari rumus f^-1(x), kita misalkan y = f(x), sehingga y = 1/(x^2-2). Kemudian, kita tukar posisi x dan y, menjadi x = 1/(y^2-2). Selanjutnya, kita selesaikan persamaan tersebut untuk mencari y:
x(y^2-2) = 1
y^2-2 = 1/x
y^2 = 1/x + 2
y^2 = (1+2x)/x
y = ±sqrt((1+2x)/x)
Jadi, rumus f^-1(x) adalah ±sqrt((1+2x)/x).

Agar f^-1(x) merupakan fungsi invers dari f(x), maka f(x) haruslah fungsi bijektif (satu-satu dan pada). Fungsi f(x) = 1/(x^2-2) tidak memiliki sifat satu-satu karena f(x) = f(-x) untuk nilai x yang berbeda. Misalnya, f(3) = 1/(3^2-2) = 1/7 dan f(-3) = 1/((-3)^2-2) = 1/7.

Untuk membuat f^-1(x) menjadi fungsi invers, kita perlu membatasi daerah asal f(x) sehingga menjadi fungsi satu-satu. Kita bisa membatasi daerah asal f(x) menjadi x >= 0 atau x <= 0. 
Jika kita membatasi daerah asal f(x) menjadi x >= 0, maka f^-1(x) = sqrt((1+2x)/x).
Jika kita membatasi daerah asal f(x) menjadi x <= 0, maka f^-1(x) = -sqrt((1+2x)/x).

Selain itu, agar f^-1(x) terdefinisi, maka (1+2x)/x harus lebih besar dari atau sama dengan 0. 
Kasus 1: 1+2x >= 0 dan x > 0  => x >= -1/2 dan x > 0 => x > 0
Kasus 2: 1+2x <= 0 dan x < 0  => x <= -1/2 dan x < 0 => x <= -1/2
Jadi, daerah hasil dari f(x) adalah (-∞, -1/2] U (0, ∞).

Dengan demikian, agar f^-1(x) merupakan fungsi invers dari f(x), daerah asal f(x) perlu dibatasi. Jika kita memilih daerah asal f(x) adalah [0, ∞) dengan x ≠ sqrt(2), maka f^-1(x) = sqrt((1+2x)/x). Jika kita memilih daerah asal f(x) adalah (-∞, 0] dengan x ≠ -sqrt(2), maka f^-1(x) = -sqrt((1+2x)/x).