Fungsi f(x)= 2-5 sin (pi x)/6; -5<=x<=1, mempunyai nilai

Nilai $a+b = \frac{7}{3}$.

Pembahasan

Fungsi yang diberikan adalah $f(x)= 2 - \frac{5 \sin(\pi x)}{6}$ untuk $-5 \le x \le 1$.
Kita perlu mencari nilai maksimum dari fungsi ini dan nilai $x$ di mana nilai maksimum tersebut tercapai.

Nilai maksimum dari fungsi sinus $\sin(\theta)$ adalah 1, dan nilai minimumnya adalah -1.

Untuk mencari nilai maksimum dari $f(x)$, kita perlu mencari nilai minimum dari $\sin(\pi x)$, karena ada tanda negatif di depannya.

Nilai minimum $\sin(\pi x)$ adalah -1.
Jadi, nilai maksimum dari $-\frac{5 \sin(\pi x)}{6}$ adalah $-\frac{5(-1)}{6} = \frac{5}{6}$.

Nilai maksimum dari $f(x)$ adalah $2 + \frac{5}{6} = \frac{12}{6} + \frac{5}{6} = \frac{17}{6}$.
Jadi, nilai maksimum fungsi $a = \frac{17}{6}$.

Nilai maksimum ini tercapai ketika $\sin(\pi x) = -1$.
Dalam interval $-5 \le x \le 1$, kita perlu mencari nilai $x$ yang memenuhi $\sin(\pi x) = -1$.

Nilai $\sin(\theta) = -1$ terjadi ketika $\theta = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$, di mana $k$ adalah bilangan bulat.

Maka, $\pi x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$.
Bagi kedua sisi dengan $\pi$:
$x = \frac{3}{2} + 2k$

Sekarang kita perlu mencari nilai $k$ sehingga $x$ berada dalam interval $-5 \le x \le 1$.

Jika $k = -1$: $x = \frac{3}{2} + 2(-1) = 1.5 - 2 = -0.5$. Nilai ini berada dalam interval $[-5, 1]$.
Jika $k = -2$: $x = \frac{3}{2} + 2(-2) = 1.5 - 4 = -2.5$. Nilai ini berada dalam interval $[-5, 1]$.
Jika $k = -3$: $x = \frac{3}{2} + 2(-3) = 1.5 - 6 = -4.5$. Nilai ini berada dalam interval $[-5, 1]$.
Jika $k = -4$: $x = \frac{3}{2} + 2(-4) = 1.5 - 8 = -6.5$. Nilai ini di luar interval.

Jika $k = 0$: $x = \frac{3}{2} + 2(0) = 1.5$. Nilai ini di luar interval.

Nilai $x$ yang membuat $\sin(\pi x) = -1$ dalam interval $[-5, 1]$ adalah $x = -0.5, -2.5, -4.5$. Kita perlu memastikan nilai maksimum tercapai pada salah satu nilai $x$ ini. Karena $\sin(\pi x)$ hanya mencapai nilai minimumnya (-1) pada interval ini, maka nilai maksimum fungsi $f(x)$ akan sama di semua titik ini.

Soal menyatakan "mempunyai nilai maksimum a di titik a=b". Ini agak ambigu. Diasumsikan bahwa 'b' adalah nilai x di mana nilai maksimum tercapai.
Karena ada beberapa nilai $x$ yang memberikan nilai maksimum, kita bisa pilih salah satu, misalnya $x = -0.5$. Maka, $b = -0.5$.

Nilai maksimum $a = \frac{17}{6}$.
Nilai $b = -0.5 = -\frac{1}{2}$.

Maka, $a + b = \frac{17}{6} + (-\frac{1}{2}) = \frac{17}{6} - \frac{3}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$.

Mari kita periksa nilai $x$ lainnya:
Jika $b = -2.5 = -\frac{5}{2}$, maka $a+b = \frac{17}{6} - \frac{5}{2} = \frac{17}{6} - \frac{15}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Jika $b = -4.5 = -\frac{9}{2}$, maka $a+b = \frac{17}{6} - \frac{9}{2} = \frac{17}{6} - \frac{27}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$.

Namun, biasanya dalam soal seperti ini, kita mencari nilai $x$ yang paling mendekati 0 atau nilai positif jika memungkinkan. Dalam interval $[-5, 1]$, nilai $x=-0.5$ adalah yang terbesar (paling dekat ke 1). Jika kita menginterpretasikan "titik a=b" sebagai nilai x yang unik, mungkin ada informasi tambahan yang hilang atau perlu asumsi. Mengingat format soal, kemungkinan besar ada satu nilai 'b' yang diharapkan.

Jika kita lihat grafik $\sin(\pi x)$, nilai $\sin(\pi x) = -1$ terjadi pada $\pi x = \dots, -3\pi/2, -\pi/2, \pi/2, 3\pi/2, 
\dots$.
Untuk $\pi x = -\pi/2$, maka $x = -1/2 = -0.5$. Ini berada dalam interval $[-5, 1]$.
Untuk $\pi x = -3\pi/2$, maka $x = -3/2 = -1.5$. Ini berada dalam interval $[-5, 1]$.
Untuk $\pi x = -5\pi/2$, maka $x = -5/2 = -2.5$. Ini berada dalam interval $[-5, 1]$.
Untuk $\pi x = -7\pi/2$, maka $x = -7/2 = -3.5$. Ini berada dalam interval $[-5, 1]$.
Untuk $\pi x = -9\pi/2$, maka $x = -9/2 = -4.5$. Ini berada dalam interval $[-5, 1]$.
Untuk $\pi x = -11\pi/2$, maka $x = -11/2 = -5.5$. Ini di luar interval.

Jadi nilai x yang memenuhi adalah $-0.5, -1.5, -2.5, -3.5, -4.5$. Nilai maksimum fungsi $a = 17/6$ tercapai pada semua nilai $x$ ini.

Jika soal mengasumsikan hanya ada satu nilai 'b', maka ada ambiguitas. Namun, jika kita ambil nilai $x$ yang paling dekat dengan 0 atau nilai terbesar dalam interval, yaitu $x=-0.5$, maka $b=-0.5$.