Kelas 12Kelas 11mathBarisan Dan Deret
Jumlah semua suku barisan geometri tak hingga adalah 32.
Pertanyaan
Jumlah semua suku barisan geometri tak hingga adalah 32. Jika jumlah semua barisan suku genap adalah $13^{5/7}$, maka rasio deret tersebut adalah ...
Solusi
Verified
Rasio deret tersebut adalah $\frac{13^{5/7}}{32 - 13^{5/7}}$.
Pembahasan
Misalkan barisan geometri tak hingga tersebut adalah $a, ar, ar^2, ar^3, \dots$ dengan suku pertama $a$ dan rasio $r$. Diketahui bahwa jumlah semua suku barisan tersebut adalah 32, sehingga berlaku: $S_{\infty} = \frac{a}{1-r} = 32$ Jumlah semua suku genap adalah jumlah dari barisan $ar, ar^3, ar^5, \dots$. Ini adalah barisan geometri tak hingga dengan suku pertama $ar$ dan rasio $r^2$. Diketahui bahwa jumlah suku genap adalah $13^{5/7}$, sehingga berlaku: $S_{\text{genap}} = \frac{ar}{1-r^2} = 13^{5/7}$ Kita memiliki dua persamaan: 1) $a = 32(1-r)$ 2) $ar = 13^{5/7}(1-r^2)$ Substitusikan persamaan (1) ke persamaan (2): $32(1-r)r = 13^{5/7}(1-r)(1+r)$ Karena $r \neq 1$ (agar deret konvergen), kita bisa membagi kedua sisi dengan $(1-r)$: $32r = 13^{5/7}(1+r)$ $32r = 13^{5/7} + 13^{5/7}r$ $32r - 13^{5/7}r = 13^{5/7}$ $r(32 - 13^{5/7}) = 13^{5/7}$ $r = \frac{13^{5/7}}{32 - 13^{5/7}}$ Untuk menghitung nilai $13^{5/7}$: $13^{5/7} \approx 13^{0.714} \approx 6.687$ $r \approx \frac{6.687}{32 - 6.687} = \frac{6.687}{25.313} \approx 0.264$ Jadi, rasio deret tersebut adalah $\frac{13^{5/7}}{32 - 13^{5/7}}$.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Barisan Geometri Tak Hingga
Section: Jumlah Deret Geometri Tak Hingga
Apakah jawaban ini membantu?