Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 12Kelas 11mathBarisan Dan Deret

Jumlah semua suku barisan geometri tak hingga adalah 32.

Pertanyaan

Jumlah semua suku barisan geometri tak hingga adalah 32. Jika jumlah semua barisan suku genap adalah $13^{5/7}$, maka rasio deret tersebut adalah ...

Solusi

Verified

Rasio deret tersebut adalah $\frac{13^{5/7}}{32 - 13^{5/7}}$.

Pembahasan

Misalkan barisan geometri tak hingga tersebut adalah $a, ar, ar^2, ar^3, \dots$ dengan suku pertama $a$ dan rasio $r$. Diketahui bahwa jumlah semua suku barisan tersebut adalah 32, sehingga berlaku: $S_{\infty} = \frac{a}{1-r} = 32$ Jumlah semua suku genap adalah jumlah dari barisan $ar, ar^3, ar^5, \dots$. Ini adalah barisan geometri tak hingga dengan suku pertama $ar$ dan rasio $r^2$. Diketahui bahwa jumlah suku genap adalah $13^{5/7}$, sehingga berlaku: $S_{\text{genap}} = \frac{ar}{1-r^2} = 13^{5/7}$ Kita memiliki dua persamaan: 1) $a = 32(1-r)$ 2) $ar = 13^{5/7}(1-r^2)$ Substitusikan persamaan (1) ke persamaan (2): $32(1-r)r = 13^{5/7}(1-r)(1+r)$ Karena $r \neq 1$ (agar deret konvergen), kita bisa membagi kedua sisi dengan $(1-r)$: $32r = 13^{5/7}(1+r)$ $32r = 13^{5/7} + 13^{5/7}r$ $32r - 13^{5/7}r = 13^{5/7}$ $r(32 - 13^{5/7}) = 13^{5/7}$ $r = \frac{13^{5/7}}{32 - 13^{5/7}}$ Untuk menghitung nilai $13^{5/7}$: $13^{5/7} \approx 13^{0.714} \approx 6.687$ $r \approx \frac{6.687}{32 - 6.687} = \frac{6.687}{25.313} \approx 0.264$ Jadi, rasio deret tersebut adalah $\frac{13^{5/7}}{32 - 13^{5/7}}$.

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Barisan Geometri Tak Hingga
Section: Jumlah Deret Geometri Tak Hingga

Apakah jawaban ini membantu?