Fungsi f(x)=akar(sin^2(x) +x/2), x>0 turun pada interval

(7π/12, 11π/12)

Pembahasan

Kita perlu mencari interval di mana fungsi f(x) = akar(sin^2(x) + x/2) menurun. Fungsi menurun ketika turunannya negatif.

Langkah 1: Cari turunan pertama dari f(x).
Misalkan u = sin^2(x) + x/2.
Maka f(x) = akar(u) = u^(1/2).

df/dx = (1/2) * u^(-1/2) * du/dx

Sekarang kita cari du/dx:
du/dx = d/dx (sin^2(x)) + d/dx (x/2)
Untuk d/dx (sin^2(x)), kita gunakan aturan rantai: 2 sin(x) * d/dx(sin(x)) = 2 sin(x) cos(x) = sin(2x).
Untuk d/dx (x/2) = 1/2.

Maka, du/dx = sin(2x) + 1/2.

Sekarang substitusikan kembali ke df/dx:
df/dx = (1/2) * (sin^2(x) + x/2)^(-1/2) * (sin(2x) + 1/2)

df/dx = (sin(2x) + 1/2) / (2 * akar(sin^2(x) + x/2))

Langkah 2: Tentukan kapan df/dx < 0.
Agar df/dx negatif, pembilang harus negatif karena penyebut selalu positif (karena akar dari ekspresi yang diasumsikan positif untuk x>0, dan 2 adalah positif).

Maka, kita perlu sin(2x) + 1/2 < 0.
sin(2x) < -1/2.

Kita tahu bahwa nilai sin θ < -1/2 terjadi pada kuadran ketiga dan keempat.

Sudut referensi untuk sin θ = 1/2 adalah π/6 (atau 30 derajat).

Dalam satu putaran (0 hingga 2π):
sin θ = -1/2 terjadi pada θ = 7π/6 dan θ = 11π/6.

Jadi, untuk sin(2x) < -1/2, kita perlu:
7π/6 < 2x < 11π/6

Bagi semua bagian dengan 2:
7π/12 < x < 11π/12

Karena soal menyatakan x > 0, interval ini valid.

Perlu diperhatikan bahwa sin^2(x) + x/2 harus positif agar fungsi terdefinisi. Untuk x > 0, x/2 selalu positif. sin^2(x) selalu non-negatif. Jadi, sin^2(x) + x/2 selalu positif untuk x > 0.

Jadi, fungsi f(x) = akar(sin^2(x) + x/2) turun pada interval (7π/12, 11π/12).

Periksa kembali perhitungan.
Turunan dari sin^2(x) adalah 2sin(x)cos(x) = sin(2x).
Turunan dari x/2 adalah 1/2.
Turunan f(x) = (1/2) * (sin^2(x) + x/2)^(-1/2) * (sin(2x) + 1/2).

Agar f(x) turun, f'(x) < 0.
Ini berarti sin(2x) + 1/2 < 0.
sin(2x) < -1/2.

Nilai 2x yang memenuhi sin(2x) < -1/2 adalah dalam rentang (7π/6 + 2kπ, 11π/6 + 2kπ) untuk bilangan bulat k.

Untuk k = 0:
7π/6 < 2x < 11π/6
7π/12 < x < 11π/12

Interval ini berada dalam domain x > 0.

Jadi, fungsi f(x) turun pada interval (7π/12, 11π/12).