Himpunan penyelesaian dari sin4x-cos2x=0 untuk 0<=x<=360

Himpunan penyelesaiannya adalah {$15^{\circ}, 45^{\circ}, 75^{\circ}, 135^{\circ}, 195^{\circ}, 225^{\circ}, 255^{\circ}, 315^{\circ}$}.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan $\sin 4x - \cos 2x = 0$ dalam interval $0 \le x \le 360^{\circ}$, kita perlu menggunakan identitas trigonometri untuk mengubah persamaan agar hanya melibatkan satu fungsi trigonometri dengan satu sudut.

Kita tahu bahwa $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$. Namun, di sini kita memiliki $\sin 4x$. Gunakan identitas sudut ganda untuk $\sin 4x$, yaitu $\sin 4x = 2 \sin 2x \cos 2x$. Selanjutnya, gunakan identitas $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$. Maka $\sin 4x = 2 (2 \sin x \cos x) \cos 2x = 4 \sin x \cos x \cos 2x$.

Namun, ini masih melibatkan $\cos 2x$. Cara yang lebih efektif adalah mengubah $\cos 2x$ menjadi bentuk yang melibatkan $\sin x$ atau $\cos x$ saja, atau mengubah $\sin 4x$ menjadi bentuk yang melibatkan $\cos 2x$. 

Mari kita gunakan identitas $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$. Kita perlu mengubah $\sin 4x$ agar sesuai.

Alternatif lain yang lebih mudah adalah dengan menyadari bahwa $\sin 4x = \sin(2 	imes 2x) = 2 \sin 2x \cos 2x$. 

Maka persamaan menjadi: $2 \sin 2x \cos 2x - \cos 2x = 0$.

Faktorkan $\cos 2x$:
$\cos 2x (2 \sin 2x - 1) = 0$.

Ini memberikan dua kemungkinan:
1. $\cos 2x = 0$
2. $2 \sin 2x - 1 = 0 \implies \sin 2x = \frac{1}{2}$

Sekarang kita selesaikan untuk $x$ dalam interval $0 \le x \le 360^{\circ}$.

Kasus 1: $\cos 2x = 0$
Jika $\cos \theta = 0$, maka $\theta = 90^{\circ} + 180^{\circ}k$, di mana $k$ adalah bilangan bulat.
Jadi, $2x = 90^{\circ} + 180^{\circ}k$.
$x = 45^{\circ} + 90^{\circ}k$.
Untuk $k=0$, $x = 45^{\circ}$.
Untuk $k=1$, $x = 45^{\circ} + 90^{\circ} = 135^{\circ}$.
Untuk $k=2$, $x = 45^{\circ} + 180^{\circ} = 225^{\circ}$.
Untuk $k=3$, $x = 45^{\circ} + 270^{\circ} = 315^{\circ}$.
Untuk $k=4$, $x = 45^{\circ} + 360^{\circ} = 405^{\circ}$ (di luar interval).

Kasus 2: $\sin 2x = \frac{1}{2}$
Jika $\sin \theta = \frac{1}{2}$, maka $\theta = 30^{\circ} + 360^{\circ}k$ atau $\theta = 180^{\circ} - 30^{\circ} + 360^{\circ}k = 150^{\circ} + 360^{\circ}k$.
Jadi, $2x = 30^{\circ} + 360^{\circ}k$ atau $2x = 150^{\circ} + 360^{\circ}k$.

Dari $2x = 30^{\circ} + 360^{\circ}k$:
$x = 15^{\circ} + 180^{\circ}k$.
Untuk $k=0$, $x = 15^{\circ}$.
Untuk $k=1$, $x = 15^{\circ} + 180^{\circ} = 195^{\circ}$.
Untuk $k=2$, $x = 15^{\circ} + 360^{\circ} = 375^{\circ}$ (di luar interval).

Dari $2x = 150^{\circ} + 360^{\circ}k$:
$x = 75^{\circ} + 180^{\circ}k$.
Untuk $k=0$, $x = 75^{\circ}$.
Untuk $k=1$, $x = 75^{\circ} + 180^{\circ} = 255^{\circ}$.
Untuk $k=2$, $x = 75^{\circ} + 360^{\circ} = 435^{\circ}$ (di luar interval).

Menggabungkan semua solusi yang valid:
$x = 15^{\circ}, 45^{\circ}, 75^{\circ}, 135^{\circ}, 195^{\circ}, 225^{\circ}, 255^{\circ}, 315^{\circ}$.

Himpunan penyelesaiannya adalah {$15^{\circ}, 45^{\circ}, 75^{\circ}, 135^{\circ}, 195^{\circ}, 225^{\circ}, 255^{\circ}, 315^{\circ}$}.