Fungsi f(x)=cos^2 (2x) +1 untuk 0<x<180 , turun pada

Fungsi turun pada interval 0 < x < 45 dan 90 < x < 135.

Pembahasan

Untuk menentukan interval di mana fungsi f(x) = cos^2(2x) + 1 menurun, kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi tersebut dan menentukan di mana turunannya bernilai negatif.

Langkah 1: Cari turunan pertama f'(x).
Misalkan u = cos(2x), maka f(x) = u^2 + 1.
Turunan f terhadap u adalah df/du = 2u.
Turunan u terhadap x adalah du/dx.
Kita gunakan aturan rantai: du/dx = d/dx(cos(2x)).
Misalkan v = 2x, maka u = cos(v).
du/dv = -sin(v).
dv/dx = 2.
Maka, du/dx = du/dv * dv/dx = -sin(v) * 2 = -2sin(2x).

Sekarang, kembali ke f(x) = u^2 + 1. f'(x) = df/du * du/dx.
f'(x) = 2u * (-2sin(2x))
f'(x) = 2(cos(2x)) * (-2sin(2x))
f'(x) = -4cos(2x)sin(2x)

Kita bisa menggunakan identitas trigonometri 2sin(A)cos(A) = sin(2A). Jadi, 4cos(2x)sin(2x) = 2 * (2sin(2x)cos(2x)) = 2sin(4x).
Maka, f'(x) = -2sin(4x).

Langkah 2: Tentukan interval di mana f'(x) < 0.
Kita perlu mencari interval di mana -2sin(4x) < 0.
Ini sama dengan mencari interval di mana sin(4x) > 0.

Fungsi sinus positif di kuadran I dan II. Jadi, untuk sin(θ) > 0, maka 0 < θ < π (atau 0° < θ < 180°).
Dalam kasus ini, θ = 4x.
Jadi, 0 < 4x < π.

Membagi dengan 4:
0 < x < π/4.

Dalam derajat, π radian = 180°.
Maka, 0° < 4x < 180°.
Membagi dengan 4:
0° < x < 45°.

Namun, soal menyatakan bahwa 0 < x < 180°. Fungsi sin(4x) akan positif pada interval berikut untuk 4x:
Kuadran I: 0 < 4x < 90°
Kuadran II: 180° < 4x < 270°

Membagi dengan 4 untuk setiap interval:
Interval 1: 0° < x < 22.5°
Interval 2: 45° < x < 67.5°

Jadi, fungsi f(x) = cos^2(2x) + 1 akan turun pada interval di mana f'(x) < 0, yaitu ketika sin(4x) > 0. Berdasarkan analisis di atas, ini terjadi pada interval 0° < x < 22.5° dan 45° < x < 67.5°.

Namun, jika kita melihat rentang penuh 0 < x < 180, kita perlu memeriksa di mana sin(4x) positif. Jika 4x berada dalam rentang 0 hingga 720 derajat (karena x hingga 180, maka 4x hingga 720).

sin(4x) > 0 ketika:
0 < 4x < 180
360 < 4x < 540

Maka, untuk x:
0 < x < 45
90 < x < 135

Jadi, fungsi f(x) = cos^2(2x) + 1 turun pada interval 0 < x < 45 dan 90 < x < 135.