Fungsi f(x)=sec^2 x-tan xsec x untuk 0<x<2pi, x=/=pi/2, dan

Fungsi naik pada interval (π/2, 3π/2).

Pembahasan

Untuk menentukan interval di mana fungsi f(x) = sec^2(x) - tan(x)sec(x) naik, kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi tersebut dan menentukan di mana turunan pertama bernilai positif.

Pertama, kita bisa menyederhanakan fungsi f(x):
f(x) = sec(x) (sec(x) - tan(x))

Kita tahu bahwa sec(x) = 1/cos(x) dan tan(x) = sin(x)/cos(x).
Maka, f(x) = (1/cos(x)) * (1/cos(x) - sin(x)/cos(x))
f(x) = (1/cos(x)) * ((1 - sin(x))/cos(x))
f(x) = (1 - sin(x)) / cos^2(x)

Menggunakan identitas cos^2(x) = 1 - sin^2(x) = (1 - sin(x))(1 + sin(x)), kita dapat menyederhanakan lebih lanjut:
f(x) = (1 - sin(x)) / [(1 - sin(x))(1 + sin(x))]

Dengan asumsi 1 - sin(x) ≠ 0 (yaitu, x ≠ π/2 + 2kπ), kita dapat membatalkan (1 - sin(x)):
f(x) = 1 / (1 + sin(x))

Sekarang, kita cari turunan pertama f'(x) menggunakan aturan kuosien:
f'(x) = d/dx [ (1 + sin(x))^(-1) ]
f'(x) = -1 * (1 + sin(x))^(-2) * cos(x)
f'(x) = -cos(x) / (1 + sin(x))^2

Fungsi naik ketika f'(x) > 0.
-cos(x) / (1 + sin(x))^2 > 0

Karena (1 + sin(x))^2 selalu positif (kecuali jika sin(x) = -1, yang tidak terjadi dalam domain yang diberikan 0 < x < 2π, x ≠ π/2), tanda f'(x) ditentukan oleh -cos(x).

Agar f'(x) > 0, maka -cos(x) > 0, yang berarti cos(x) < 0.

Dalam interval 0 < x < 2π, cos(x) bernilai negatif pada kuadran kedua dan ketiga.
Kuadran kedua: π/2 < x < π
Kuadran ketiga: π < x < 3π/2

Namun, kita harus memperhatikan domain yang diberikan: 0 < x < 2π, x ≠ π/2, dan x ≠ 3π/2 (karena sec(x) tidak terdefinisi di sana).

Jadi, cos(x) < 0 pada interval (π/2, 3π/2).

Karena kita membatalkan (1 - sin(x)), kita perlu memeriksa kembali kasus di mana 1 - sin(x) = 0, yaitu sin(x) = 1. Ini terjadi pada x = π/2. Namun, π/2 sudah dikecualikan dari domain.

Dengan demikian, fungsi f(x) naik ketika cos(x) < 0, yaitu pada interval (π/2, 3π/2).

Jawaban: Fungsi f(x) naik pada interval (π/2, 3π/2).