Buktikan bahwa sudut keliling di dalam setengah lingkaran

Sudut keliling yang menghadap diameter adalah setengah dari sudut pusat yang menghadap diameter tersebut (180 derajat), sehingga sudut kelilingnya adalah 90 derajat.

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa sudut keliling di dalam setengah lingkaran adalah 90 derajat, kita dapat menggunakan sifat-sifat segitiga yang dibentuk oleh diameter lingkaran dan titik pada kelilingnya.

Misalkan kita memiliki sebuah lingkaran dengan pusat O dan diameter AB. Ambil sebarang titik C pada keliling lingkaran tersebut.

Kita ingin membuktikan bahwa sudut ACB = 90 derajat.

Dalam segitiga ABC:

1.  Sudut A (∠CAB) adalah sudut keliling yang menghadap busur BC.
2.  Sudut B (∠CBA) adalah sudut keliling yang menghadap busur AC.
3.  Sudut C (∠ACB) adalah sudut keliling yang menghadap diameter AB.

Kita tahu bahwa sudut pusat yang menghadap busur yang sama adalah dua kali sudut keliling yang menghadap busur yang sama. Atau, sudut keliling adalah setengah dari sudut pusat yang menghadap busur yang sama.

Sudut pusat yang menghadap busur BC adalah sudut BOC.
Sudut pusat yang menghadap busur AC adalah sudut AOC.

Karena AB adalah diameter, maka garis AB membentuk sudut lurus, sehingga sudut AOB = 180 derajat.

Perhatikan bahwa sudut AOB dibentuk oleh sudut AOC dan sudut BOC (yaitu, ∠AOB = ∠AOC + ∠BOC).
Karena AB adalah diameter, maka ∠AOB = 180 derajat.
Jadi, ∠AOC + ∠BOC = 180 derajat.

Sekarang, kita hubungkan ini dengan sudut keliling:
Sudut keliling yang menghadap busur BC adalah ∠BAC (atau ∠A).
Sudut pusat yang menghadap busur BC adalah ∠BOC.
Maka, ∠BAC = 1/2 * ∠BOC.

Sudut keliling yang menghadap busur AC adalah ∠ABC (atau ∠B).
Sudut pusat yang menghadap busur AC adalah ∠AOC.
Maka, ∠ABC = 1/2 * ∠AOC.

Jumlah sudut dalam segitiga ABC adalah 180 derajat:
∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180 derajat

Substitusikan hubungan sudut keliling dengan sudut pusat:
(1/2 * ∠BOC) + (1/2 * ∠AOC) + ∠ACB = 180 derajat

Faktorkan 1/2:
1/2 * (∠BOC + ∠AOC) + ∠ACB = 180 derajat

Kita tahu bahwa ∠BOC + ∠AOC = 180 derajat (karena membentuk garis lurus diameter AB).

Substitusikan nilai ini:
1/2 * (180 derajat) + ∠ACB = 180 derajat

90 derajat + ∠ACB = 180 derajat

Kurangi kedua sisi dengan 90 derajat:
∠ACB = 180 derajat - 90 derajat
∠ACB = 90 derajat

Dengan demikian, terbukti bahwa sudut keliling yang menghadap diameter (atau setengah lingkaran) adalah sudut siku-siku, yaitu 90 derajat.

Jawaban: Terbukti bahwa sudut keliling di dalam setengah lingkaran adalah 90 derajat.