Fungsi f(x)=(x^2-2x+4)(/x-2) turun pada interval ....

Fungsi turun pada interval $(0, 2)$ dan $(2, 4)$.

Pembahasan

Untuk menentukan interval di mana fungsi $f(x) = \frac{x^2 - 2x + 4}{x - 2}$ turun, kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi tersebut, yaitu $f'(x)$, lalu menentukan di mana $f'(x) < 0$.

Pertama, mari kita sederhanakan fungsi $f(x)$ menggunakan pembagian polinomial atau identifikasi bahwa bagian pembilang tidak dapat difaktorkan lebih lanjut dengan mudah.

Kita dapat menggunakan aturan kuosien untuk mencari turunan $f(x) = \frac{u}{v}$, di mana $u = x^2 - 2x + 4$ dan $v = x - 2$.

Turunan $u$ adalah $u' = 2x - 2$.
Turunan $v$ adalah $v' = 1$.

Menggunakan aturan kuosien, $f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$f'(x) = \frac{(2x - 2)(x - 2) - (x^2 - 2x + 4)(1)}{(x - 2)^2}$

Sekarang, mari kita ekspansi dan sederhanakan bagian pembilang:
$(2x - 2)(x - 2) = 2x^2 - 4x - 2x + 4 = 2x^2 - 6x + 4$

Jadi, pembilangnya menjadi:
$(2x^2 - 6x + 4) - (x^2 - 2x + 4)$
$= 2x^2 - 6x + 4 - x^2 + 2x - 4$
$= x^2 - 4x$

Maka, turunan pertama fungsi $f(x)$ adalah:
$f'(x) = \frac{x^2 - 4x}{(x - 2)^2}$

Fungsi dikatakan turun ketika $f'(x) < 0$. Kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan:
$rac{x^2 - 4x}{(x - 2)^2} < 0$

Karena penyebut $(x - 2)^2$ selalu positif (kecuali di $x=2$, di mana fungsi tidak terdefinisi), kita hanya perlu memperhatikan tanda dari pembilang, yaitu $x^2 - 4x$.

$x^2 - 4x < 0$
$x(x - 4) < 0$

Titik kritisnya adalah $x = 0$ dan $x = 4$. Dengan menguji interval yang dibentuk oleh titik-titik kritis ini:
- Untuk $x < 0$: Ambil $x = -1$, $(-1)(-1 - 4) = (-1)(-5) = 5 > 0$.
- Untuk $0 < x < 4$: Ambil $x = 1$, $(1)(1 - 4) = (1)(-3) = -3 < 0$.
- Untuk $x > 4$: Ambil $x = 5$, $(5)(5 - 4) = (5)(1) = 5 > 0$.

Pertidaksamaan $x(x - 4) < 0$ terpenuhi ketika $0 < x < 4$.

Namun, kita juga harus ingat bahwa fungsi $f(x)$ tidak terdefinisi pada $x = 2$. Oleh karena itu, interval di mana fungsi turun harus mengecualikan $x=2$.

Jadi, fungsi $f(x)$ turun pada interval $(0, 2)$ dan $(2, 4)$.