Gambar berikut menunjukkan persegi panjang PQRS simetri

Soal ini mengandung kontradiksi karena substitusi $\theta = \alpha$ ke dalam rumus luas menghasilkan nol. Namun, jika maksimum terjadi pada $\theta = \alpha/2$, luasnya adalah $r^2 \tan(\alpha/2)$.

Pembahasan

Untuk membuktikan luas persegi panjang PQRS, kita perlu menggunakan informasi yang diberikan:
1. Persegi panjang PQRS simetri terhadap OB.
2. Sektor OABC memiliki jari-jari r.
3. Sudut AOB = sudut BOC = $\alpha$.
4. Sudut POB = sudut BOQ = $\theta$.

Karena PQRS simetris terhadap OB, maka OP = OQ. Dalam segitiga siku-siku OPB (dengan OB sebagai garis simetri), kita punya:
OP = OB cos $\theta$ = r cos $\theta$
PB = OB sin $\theta$ = r sin $\theta$

Karena PQRS adalah persegi panjang, PQ = 2 * PB = 2r sin $\theta$.

Untuk mencari PS, kita perlu mengetahui posisi P dan S relatif terhadap O. Karena OB adalah sumbu simetri, P berada di satu sisi dan Q di sisi lain. Sudut POQ = $2\theta$.

Sekarang kita perlu mencari panjang sisi PS. Karena PQRS adalah persegi panjang, PS tegak lurus PQ. Mari kita pertimbangkan koordinat. Misalkan O=(0,0). Jika B=(r,0), maka:
P = (r cos $\theta$, r sin $\theta$)
Q = (r cos $\theta$, -r sin $\theta$)

Untuk menemukan S, kita perlu mengetahui sudut yang dibentuk oleh OQ dan OA. Sudut QOC = Sudut BOC - Sudut BOQ = $\alpha - \theta$.

Karena simetri, kita dapat menganggap titik S berada pada garis yang membentuk sudut $\alpha + \theta$ dengan OA (jika A terletak pada sumbu y positif dan B pada sumbu x positif).

Namun, lebih mudah menggunakan geometri. Panjang sisi PS akan bergantung pada jarak dari O ke garis yang melalui P dan tegak lurus OB. Atau kita bisa menggunakan panjang OP dan sudut POQ.

Mari kita cari sisi PQ dan PS. PQ = 2 * PB = 2 * r sin $\theta$.

Sekarang kita cari PS. Karena PQRS adalah persegi panjang, PS = OQ * sin(sudut antara OQ dan PS). Ini menjadi rumit.

Mari kita tinjau kembali simetri terhadap OB. Ini berarti P dan Q simetris. S dan R juga simetris terhadap OB.

OP = OQ = r cos $\theta$.
PB = QB = r sin $\theta$.
PQ = 2r sin $\theta$.

Sekarang kita perlu sisi PS. Titik S dan R akan berada pada garis yang membentuk sudut dengan OB.

Jika kita melihat segitiga OPS, OP = r cos $\theta$. Sudut POS = Sudut AOB - Sudut AOP. Ini tidak langsung diketahui.

Mari kita gunakan pendekatan lain. Sudut POQ = $2\theta$.

Perhatikan segitiga OPS. Sudut POS = Sudut QOS = Sudut QOR. Total sudut AOB = $\alpha$. Sudut BOC = $\alpha$. Jadi sudut AOC = $2\alpha$.

Misalkan titik P berada pada sudut $\theta$ dari OB. Maka titik S akan berada pada sudut $\alpha + \theta$ dari OB (jika diukur dari OA ke S, dan P dari OA ke P).

Ini masih agak membingungkan. Mari kita fokus pada rumus yang diminta: Luas PQRS = 2r^2 sin $\theta$ sin($\alpha - \theta$)/sin $\alpha$.

Luas PQRS = PQ * PS.
PQ = 2r sin $\theta$.

Kita perlu PS. PS adalah jarak antara garis OP dan OR (atau OQ dan OS).

Dalam segitiga siku-siku OPB, OP = r cos $\theta$.

Sekarang kita perlu mencari panjang PS. PS = 2 * (jarak dari P ke sumbu simetri OB). Ini salah.

PS adalah panjang sisi yang tegak lurus PQ.

Mari kita cari koordinat:
O = (0,0)
B = (r, 0)
Jika A = (0, r), maka $\alpha = 90^0$. Ini tidak umum.

Mari kita gunakan definisi sudut. Sudut AOB = $\alpha$. Sudut BOC = $\alpha$.
OB adalah garis simetri.
POB = $\theta$. QOB = $\theta$.

Maka sudut POQ = $2\theta$.

Perhatikan segitiga OPB. OP = OB cos $\theta$ = r cos $\theta$. PB = OB sin $\theta$ = r sin $\theta$.

Karena PQRS adalah persegi panjang, PQ = 2 * PB = 2r sin $\theta$.

Sekarang kita perlu mencari PS. PS adalah jarak dari P ke garis OR, atau jarak dari S ke garis OQ. Ini tidak benar.

Sisi PS tegak lurus dengan PQ. Panjang PS = Jarak dari P ke S.

Dalam segitiga OPR, kita perlu mengetahui sudut POR.
Sudut AOP = $\alpha - \theta$ (jika P di antara OA dan OB).
Atau, jika OB adalah garis simetri, maka P dan Q berada pada sisi berlawanan dari OB.

Misalkan kita ukur sudut dari OA.
A = (r cos 90, r sin 90) jika A pada sumbu y.
Ini bisa lebih rumit dari yang seharusnya.

Mari kita gunakan luas trapesium. Luas PQRS = Luas Segitiga OPR + Luas Segitiga OQS - Luas Segitiga OPS - Luas Segitiga ORQ. Ini tidak membantu.

Mari kita gunakan rumus luas segiempat dengan diagonal.
Luas PQRS = 1/2 * PR * QS * sin(sudut antara diagonal).

Kembali ke sisi-sisi. PQ = 2r sin $\theta$.

Sekarang cari PS. Perhatikan segitiga OPS. OP = r cos $\theta$. Sudut POS?.

Karena PQRS simetris terhadap OB, maka P dan Q simetris, S dan R simetris.
Sudut POQ = $2\theta$.

Perhatikan segitiga OPS. S adalah titik sedemikian rupa sehingga S dan R simetris terhadap OB. P dan Q simetris terhadap OB.

Sudut SOQ = Sudut ROQ = $\alpha - \theta$.

Dalam segitiga OPS, OP = r cos $\theta$.
Sudut POS = Sudut POQ + Sudut QOS = $2\theta + (\alpha - \theta) = \alpha + \theta$ ? Ini jika S berada di luar sudut POQ.

Jika P dan Q berada di dalam sektor AOB, dan S dan R di luar sektor AOB, atau sebaliknya.

Asumsi: P dan Q berada di dalam sektor AOB. S dan R berada sedemikian rupa sehingga PQRS adalah persegi panjang.

Jika P berada pada sudut $\theta$ dari OB, maka Q juga pada sudut $\theta$ dari OB di sisi lain.

Sekarang pertimbangkan S dan R. Karena PQRS adalah persegi panjang, PS sejajar RQ dan PQ sejajar SR.

Jika kita menganggap OB adalah sumbu x.
O = (0,0)
B = (r,0)
P = (r cos $\theta$, r sin $\theta$)
Q = (r cos $\theta$, -r sin $\theta$)

Karena OB adalah sumbu simetri, R dan S harus berada pada garis yang simetris.

Misalkan S berada pada sudut $\phi$ dari OB.
S = (r cos $\phi$, r sin $\phi$).
R = (r cos $\phi$, -r sin $\phi$).

Agar PQRS menjadi persegi panjang, sisi PS harus tegak lurus PQ.

Gradien PQ = (r sin $\theta$ - (-r sin $\theta$)) / (r cos $\theta$ - r cos $\theta$) = tak terdefinisi (vertikal).

Ini berarti PQ adalah garis vertikal. Maka PS harus horizontal.

Jika PQ vertikal, P dan Q memiliki koordinat x yang sama. r cos $\theta$.
Jika PS horizontal, P dan S memiliki koordinat y yang sama.

r sin $\theta$ = r sin $\phi$. Ini berarti $\theta = \phi$ atau $\theta = 180 - \phi$. Ini tidak memungkinkan untuk persegi panjang.

Ada kesalahan dalam interpretasi. Simetri terhadap OB berarti jika titik (x,y) ada, maka (x,-y) juga ada relatif terhadap OB.

Mari kita gunakan fakta bahwa PQRS adalah persegi panjang. PQ sejajar SR, PS sejajar QR.

PQ = 2r sin $\theta$.

Sekarang kita perlu PS. PS = Jarak antara garis OP dan OR.

Dalam segitiga OPR, OR = OS = r. Sudut POR = Sudut POQ + Sudut QOR = $2\theta + \alpha - \theta = \alpha + \theta$? Ini jika P dan Q di dalam AOB, dan S di luar.

Kemungkinan lain: P, Q, S, R berada dalam sektor yang dibentuk oleh OA dan OC.

Sudut AOB = $\alpha$. Sudut BOC = $\alpha$. Total sudut AOC = $2\alpha$.

OB adalah garis simetri untuk PQRS.
POB = $\theta$. QOB = $\theta$.

Maka P dan Q berada pada jarak $\theta$ dari OB.

Sekarang, agar PQRS menjadi persegi panjang, PS harus tegak lurus PQ.

Jika kita memproyeksikan P pada OB, kita dapatkan proyeksi P' dengan OP' = r cos $\theta$.

Perhatikan segitiga OSP. OP = OS = r cos $\theta$. Ini salah. OP dan OQ = r cos $\theta$.

Yang benar adalah OP = OQ = r cos $\theta$. Ini adalah sisi miring segitiga siku-siku OPB.

Jadi, P dan Q berada pada jarak r cos $\theta$ dari O.

Sekarang, S dan R. Karena OB adalah simetri, OS = OR.

Perhatikan segitiga OBS. Sudut BOS = $\alpha - \theta$. Maka OS = r cos($\alpha - \theta$).

Panjang sisi PQ = 2 * PB = 2 * r sin $\theta$.

Panjang sisi PS = Jarak dari P ke S.

Dalam segitiga OSP, OP = r cos $\theta$. OS = r cos($\alpha - \theta$). Sudut POS = $\theta + (\alpha - \theta) = \alpha$ ? Ini salah.

Sudut POS = $\alpha - \theta$ (jika P dan S berada pada sisi yang sama dari OB, dan P di antara OB dan OA, S di antara OB dan OC).
Ini asumsi yang salah karena P dan Q simetris terhadap OB.

Misalkan OB adalah sumbu x.
P = (r cos $\theta$, r sin $\theta$)
Q = (r cos $\theta$, -r sin $\theta$)

S dan R harus simetris terhadap sumbu x.
Misalkan S = (x_s, y_s) dan R = (x_s, -y_s).
Karena S berada pada sektor OAC, dan simetris dengan R terhadap OB.

Jika P dan Q berada di dalam sektor AOB.
Sudut AOB = $\alpha$. P berada pada $\theta$ dari OB. Q berada pada $\theta$ dari OB.

Sekarang S dan R. Agar PQRS persegi panjang, PS harus tegak lurus PQ.
Karena PQ vertikal, PS harus horizontal.
Jadi, koordinat y dari P sama dengan koordinat y dari S.

r sin $\theta$ = y_s.

Karena S pada lingkaran berjari-jari r, $x_s^2 + y_s^2 = r^2$.
$x_s^2 + (r sin $\theta$)^2 = r^2$.
$x_s^2 = r^2 - r^2 sin^2 \theta = r^2 cos^2 \theta$.
$x_s = r cos \theta$. Ini berarti S = P, yang tidak mungkin.

Ada kesalahan fundamental dalam pemahaman soal atau pendekatan.

Mari kita baca soal lagi: "Gambar berikut menunjukkan persegi panjang PQRS simetri terhadap OB di dalam suatu sektor OABC."
Ini berarti titik P, Q, R, S berada di dalam atau pada batas sektor OABC.

OB adalah garis simetri.
P dan Q simetris terhadap OB.
S dan R simetris terhadap OB.

Jika P=(x,y), maka Q=(x,-y).
Jika S=(x',y'), maka R=(x',-y').

Karena PQRS adalah persegi panjang, PQ sejajar SR, PS sejajar QR.

PQ vertikal, SR vertikal.
PS horizontal, QR horizontal.

Jika PQ vertikal, P dan Q memiliki koordinat x yang sama. P=(x_p, y_p), Q=(x_p, -y_p).
Jika PS horizontal, P dan S memiliki koordinat y yang sama. P=(x_p, y_p), S=(x_s, y_p).

Karena OB adalah simetri, jika P=(r cos $\theta$, r sin $\theta$), maka Q=(r cos $\theta$, -r sin $\theta$). Ini benar.

Sekarang S dan R. Karena simetri terhadap OB, S=(r cos $\phi$, r sin $\phi$) dan R=(r cos $\phi$, -r sin $\phi$).

Agar PQRS persegi panjang, PS harus tegak lurus PQ.
Karena PQ vertikal, PS harus horizontal.
Ini berarti koordinat y dari P = koordinat y dari S.

r sin $\theta$ = r sin $\phi$. Maka $\phi = \theta$ atau $\phi = 180 - \theta$.
Jika $\phi = \theta$, maka S=P, tidak mungkin.
Jika $\phi = 180 - \theta$. Maka S = (r cos(180-$	heta$), r sin(180-$	heta$)) = (-r cos $	heta$, r sin $	heta$).

Ini berarti P = (r cos $\theta$, r sin $\theta$) dan S = (-r cos $\theta$, r sin $\theta$).
PQ = |r sin $\theta$ - (-r sin $\theta$)| = 2r sin $\theta$.
PS = |r cos $\theta$ - (-r cos $\theta$)| = 2r cos $\theta$.

Luas PQRS = PQ * PS = (2r sin $\theta$) * (2r cos $\theta$) = 2r^2 * (2 sin $\theta$ cos $\theta$) = 2r^2 sin(2$\theta$).

Ini tidak sesuai dengan rumus yang diberikan.

Mari kita coba interpretasi lain dari simetri.
Simetri terhadap OB berarti OB membagi PQRS menjadi dua bagian yang sama.

Jika P dan Q adalah titik pada lingkaran, dan POB = QOB = $\theta$.
OP = OQ = r.

Persegi panjang PQRS simetri terhadap OB.
Ini berarti jika P=(x,y), maka Q=(x,-y).
Dan S=(x',y'), R=(x',-y').

Ini adalah simetri terhadap garis OB.

Jika OB adalah sumbu x, P=(r cos $\theta$, r sin $\theta$). Q=(r cos $\theta$, -r sin $\theta$).

Agar PQRS persegi panjang, PS harus tegak lurus PQ.
PQ vertikal. PS harus horizontal.
Koordinat y P = koordinat y S.
r sin $\theta$ = y_s.

S berada pada lingkaran berjari-jari r, dan berada dalam sektor OABC.
Sudut AOB = $\alpha$. Sudut BOC = $\alpha$.

Jika P berada pada sudut $\theta$ dari OB.
Posisi P relatif terhadap OA: Sudut POA = $\alpha - \theta$.

Sekarang S. S juga harus simetris. Jarak OB adalah simetri.
S berada pada sudut $\phi$ dari OB.
S = (r cos $\phi$, r sin $\phi$).

Syarat persegi panjang: PQ horizontal, PS vertikal. Ini salah.
PQ vertikal, PS horizontal.

Koordinat y P = r sin $\theta$.
Koordinat y S = r sin $\phi$.
Agar PS horizontal, r sin $\theta$ = r sin $\phi$. Maka $\phi = \theta$ atau $\phi = 180 - \theta$.
Jika $\phi = \theta$, maka S = P. Bukan persegi panjang.
Jika $\phi = 180 - \theta$. S = (r cos(180-$	heta$), r sin(180-$	heta$)) = (-r cos $	heta$, r sin $	heta$).

Dalam kasus ini, P=(r cos $	heta$, r sin $	heta$). S=(-r cos $	heta$, r sin $	heta$).
PQ = 2r sin $	heta$. PS = 2r cos $	heta$. Luas = 2r^2 sin(2$	heta$).

Ini masih tidak cocok.

Mari kita coba membaca rumus yang diberikan: Luas = 2r^2 sin $\theta$ sin($\alpha - \theta$)/sin $\alpha$.

Ini menyiratkan bahwa panjang sisi-sisinya adalah $2r \sin \theta$ dan $2r \frac{\sin(\alpha - \theta)}{\sin \alpha}$ atau sebaliknya.

Jika PQ = $2r \sin \theta$. Ini konsisten dengan OP=OQ=r, dan POB = QOB = $\theta$, dan PQ = 2 * PB = 2 * r sin $\theta$.

Sekarang kita perlu sisi PS. PS harus tegak lurus PQ.

Dalam segitiga OSP, kita tahu OP = r. Sudut POS = $\alpha - \theta$. (Ini jika P di antara OA dan OB, dan S di antara OB dan OC).

Jika PQRS persegi panjang, P dan Q simetris terhadap OB. S dan R simetris terhadap OB.

Misalkan P berada pada sudut $\theta$ dari OB. S berada pada sudut $\phi$ dari OB.
Karena PQRS persegi panjang, PS tegak lurus PQ.

Jika kita menggunakan koordinat polar, P = (r, $\theta$) relatif terhadap OB. Q = (r, -$\theta$) relatif terhadap OB.
S = (r, $\phi$) relatif terhadap OB. R = (r, -$\phi$) relatif terhadap OB.

Ini tidak benar. OB adalah garis simetri.

Mari kita gunakan vektor.
$\|\vec{OP}\| = r$. Sudut antara OB dan OP = $\theta$.
$\|\vec{OQ}\| = r$. Sudut antara OB dan OQ = $\theta$.
$\|\vec{OS}\| = r$. Sudut antara OB dan OS = $\phi$.
$\|\vec{OR}\| = r$. Sudut antara OB dan OR = $\phi$.

Karena OB adalah simetri PQRS, maka $\vec{OP} + \vec{OQ} = k \vec{OB}$ dan $\vec{OS} + \vec{OR} = l \vec{OB}$.
Ini berarti P dan Q simetris terhadap OB, S dan R simetris terhadap OB.

Jika OB adalah sumbu x, P=(r cos $\theta$, r sin $\theta$). Q=(r cos $\theta$, -r sin $\theta$).
S=(r cos $\phi$, r sin $\phi$). R=(r cos $\phi$, -r sin $\phi$).

Agar PQRS persegi panjang, $\vec{PQ} \cdot \vec{PS} = 0$.
$\|\vec{PQ}\| = \| (0, -2r sin $\theta$) \| = 2r |sin $\theta$|.
$\|\vec{PS}\| = \| (r cos $\phi$ - r cos $\theta$, r sin $\phi$ - r sin $\theta$) \|$.

Ini terlalu rumit. Mari kita kembali ke rumus yang diberikan:
Luas = 2r^2 sin $\theta$ sin($\alpha - \theta$)/sin $\alpha$.

Ini bisa ditulis sebagai (2r sin $\theta$) * (r sin($\alpha - \theta$)/sin $\alpha$).

Jika PQ = 2r sin $\theta$. Maka PS = r sin($\alpha - \theta$)/sin $\alpha$.

Untuk mendapatkan PS = r sin($\alpha - \theta$)/sin $\alpha$, kita perlu mencari panjang sisi yang lain.

Perhatikan segitiga OSP. OS = r. Sudut POS = $\alpha - \theta$. (Ini jika S berada pada jarak $\alpha - \theta$ dari OB, di sisi yang sama dengan P).

Karena PQRS adalah persegi panjang, sudut SPQ = 90 derajat.

Jika kita menggunakan aturan proyeksi:
Misalkan P memiliki koordinat polar (r, $\theta$) relatif terhadap OB. S memiliki koordinat polar (r, $\phi$) relatif terhadap OB.

Karena simetri, P dan Q simetris terhadap OB. S dan R simetris terhadap OB.

Jika P berada pada sudut $\theta$ dari OB. Maka Q berada pada sudut -$\theta$ dari OB.
Jika S berada pada sudut $\phi$ dari OB. Maka R berada pada sudut -$\phi$ dari OB.

Agar PQRS persegi panjang, PQ harus tegak lurus PS.

Jika kita gunakan koordinat Kartesius dengan OB sebagai sumbu x:
O=(0,0), B=(r,0).
P=(r cos $\theta$, r sin $\theta$). Q=(r cos $\theta$, -r sin $\theta$).
S=(r cos $\phi$, r sin $\phi$). R=(r cos $\phi$, -r sin $\phi$).

PQ vertikal. PS horizontal.
Koordinat y P = koordinat y S => r sin $\theta$ = r sin $\phi$. $\phi = \theta$ atau $\phi = 180 - \theta$.
Jika $\phi = \theta$, S=P. Tidak mungkin.
Jika $\phi = 180 - \theta$. S = (-r cos $\theta$, r sin $\theta$).

PS = |r cos $\theta$ - (-r cos $\theta$)| = 2r cos $\theta$.
Ini masih belum sesuai.

Ada kemungkinan bahwa P dan S tidak berada pada jari-jari yang sama dari OB.

Mari kita gunakan rumus luas PQRS = PQ * PS.
PQ = 2r sin $\theta$.

Sekarang cari PS. PS adalah jarak tegak lurus antara PQ dan SR.

Consider segitiga OSP. OP = r. Sudut POS?.

Karena PQRS simetri terhadap OB, titik tengah PQ berada pada OB. Titik tengah SR berada pada OB.

Titik tengah PQ adalah (r cos $\theta$, 0).
Titik tengah SR adalah (r cos $\phi$, 0).

Ini berarti $\phi = 0$, yang berarti S dan R berada pada OB, yang tidak mungkin.

Ada kesalahan interpretasi yang mendasar.

Kembali ke rumus Luas = 2r^2 sin $\theta$ sin($\alpha - \theta$)/sin $\alpha$.
Ini adalah Luas = (2r sin $\theta$) * (r sin($\alpha - \theta$)/sin $\alpha$).

Jika PQ = 2r sin $\theta$. Maka PS = r sin($\alpha - \theta$)/sin $\alpha$.

Bagaimana mendapatkan PS = r sin($\alpha - \theta$)/sin $\alpha$?.

Perhatikan titik S. Sudut BOS = $\alpha - \theta$. (Ini jika P di antara OA dan OB, S di antara OB dan OC).

Dalam segitiga OSP, OP = r. OS = r. Sudut POS = $2\theta$ ? Ini jika P dan S simetris.

Jika kita proyeksi P pada OB, kita dapatkan P'. PP' = r sin $\theta$.
Jika kita proyeksi S pada OB, kita dapatkan S'. SS' = r sin $\phi$.

Luas PQRS = PQ * PS.
PQ = 2r sin $\theta$.

PS = Jarak antara P dan S.

Jika OB adalah sumbu simetri, maka titik-titik pada persegi panjang harus simetris.

Jika P berada pada sudut $\theta$ dari OB, maka Q pada -$\theta$.
Jika S berada pada sudut $\phi$ dari OB, maka R pada -$\phi$.

Agar PQRS menjadi persegi panjang, sisi PS harus tegak lurus PQ.

Jika kita anggap OB adalah sumbu x, P=(r cos $\theta$, r sin $\theta$). Q=(r cos $\theta$, -r sin $\theta$).
S=(r cos $\phi$, r sin $\phi$). R=(r cos $\phi$, -r sin $\phi$).

Ini mengasumsikan P, Q, R, S berada pada lingkaran berjari-jari r. Tapi soalnya bilang simetri terhadap OB di dalam sektor OABC.

Jadi P, Q, R, S berada di dalam atau pada batas sektor.

Persegi panjang PQRS simetri terhadap OB.
Ini berarti OB adalah sumbu simetri untuk PQRS.

Jika P memiliki koordinat (x,y) relatif terhadap OB, maka Q harus memiliki koordinat (x,-y).

Misalkan P berada pada jarak $d_p$ dari OB, dan Q pada jarak $d_p$ dari OB. PQ = $2 d_p$.

Jika POB = $\theta$, maka $d_p = r 	an \theta$ jika P di lingkaran.
Ini salah.

Jika POB = $\theta$, maka jarak P ke OB adalah $r 	an 	heta$ jika OB adalah garis OB.
Ini salah.

Jika P berada pada jarak OP dari O, dan sudut POB = $\theta$. Jarak P ke OB = OP sin $\theta$.

Jika P pada lingkaran, OP = r. Jarak P ke OB = r sin $\theta$.
PQ = 2 * r sin $\theta$.

Sekarang, S. Jarak S ke OB = OS sin $\phi$.
PS = jarak antara P dan S.

Jika PQRS persegi panjang, maka diagonalnya berpotpotongan di tengah.

Mari kita gunakan rumus luas yang diberikan. Untuk mendapatkan luas maksimum, kita perlu mencari turunan dari fungsi luas terhadap $\theta$ dan menyamakannya dengan nol.

Luas A($\theta$) = $\frac{2r^2}{\sin \alpha} \sin \theta \sin(\alpha - \theta)$

A'($\theta$) = $\frac{2r^2}{\sin \alpha} [\cos \theta \sin(\alpha - \theta) + \sin \theta \cos(\alpha - \theta)(-1)]$

A'($\theta$) = $\frac{2r^2}{\sin \alpha} [\cos \theta \sin(\alpha - \theta) - \sin \theta \cos(\alpha - \theta)]$

A'($\theta$) = $\frac{2r^2}{\sin \alpha} \sin((\alpha - \theta) - \theta)$

A'($\theta$) = $\frac{2r^2}{\sin \alpha} \sin(\alpha - 2\theta)$

Untuk maksimum, A'($\theta$) = 0.
$\sin(\alpha - 2\theta) = 0$.
$\alpha - 2\theta = n \pi$, n adalah bilangan bulat.
$\alpha = 2\theta + n \pi$.
Karena $\theta$ dan $\alpha$ adalah sudut dalam segitiga/sektor, $0 < \theta < \alpha$ dan $0 < \alpha < 180$.

Jika n=0, $\alpha = 2\theta$, maka $\theta = \alpha / 2$.

Ini berarti luas maksimum terjadi ketika $\theta = \alpha / 2$. Soal bilang luas maksimum saat $\theta = \alpha$. Ini kontradiksi.

Mari kita cek kembali turunan.
Luas A($\theta$) = $\frac{2r^2}{\sin \alpha} (\sin \theta \sin \alpha \cos \theta - \sin \theta \cos \alpha \sin \theta)$
= $\frac{2r^2}{\sin \alpha} (\sin \alpha \sin \theta \cos \theta - \cos \alpha \sin^2 \theta)$
= $\frac{2r^2}{\sin \alpha} (\frac{1}{2} \sin \alpha \sin(2\theta) - \cos \alpha \frac{1 - \cos(2\theta)}{2})$

A'($\theta$) = $\frac{2r^2}{\sin \alpha} [\frac{1}{2} \sin \alpha \cos(2\theta) * 2 - \cos \alpha * \frac{1}{2} (- \sin(2\theta) * 2)]$
= $\frac{2r^2}{\sin \alpha} [\sin \alpha \cos(2\theta) + \cos \alpha \sin(2\theta)]$
= $\frac{2r^2}{\sin \alpha} \sin(\alpha + 2\theta)$.

Jika A'($\theta$) = 0, maka $\sin(\alpha + 2\theta) = 0$.
$\alpha + 2\theta = n \pi$.
$2\theta = n \pi - \alpha$.
$\theta = (n \pi - \alpha) / 2$.

Jika n=1, $\theta = (\pi - \alpha) / 2$. (Jika $\alpha$ dalam radian).
Ini juga tidak cocok dengan $\theta = \alpha$.

Mari kita periksa rumus luas lagi.
Luas PQRS = 2r^2 sin $\theta$ sin($\alpha - \theta$)/sin $\alpha$.

Soal bilang: Tunjukkan luas PQRS maksimum saat $\theta = \alpha$.
Jika $\theta = \alpha$, maka Luas = 2r^2 sin $\alpha$ sin($\alpha - \alpha$)/sin $\alpha$ = 2r^2 sin $\alpha$ sin(0)/sin $\alpha$ = 0. Ini tidak mungkin.

Ada kemungkinan soalnya salah atau interpretasinya.

Coba kita cari turunan lagi.
A($\theta$) = C [sin $\theta$ sin($\alpha - \theta$)]
Let $f(\theta) = \sin \theta \sin(\alpha - \theta) = \sin \theta (\sin \alpha \cos \theta - \cos \alpha \sin \theta)$
$f(\theta) = \sin \alpha \sin \theta \cos \theta - \cos \alpha \sin^2 \theta$
$f(\theta) = \frac{1}{2} \sin \alpha \sin(2\theta) - \frac{1}{2} \cos \alpha (1 - \cos(2\theta))$

f'($\theta$) = $\frac{1}{2} \sin \alpha \cos(2\theta) * 2 - \frac{1}{2} \cos \alpha (- (-\sin(2\theta)) * 2)$
= $\sin \alpha \cos(2\theta) + \cos \alpha \sin(2\theta)$
= $\sin(\alpha + 2\theta)$.

Jika f'($\theta$) = 0, $\sin(\alpha + 2\theta) = 0$. $\alpha + 2\theta = n \pi$. $\theta = (n \pi - \alpha)/2$.

Jika $\theta = \alpha$, maka $\alpha = (n \pi - \alpha)/2 => 2\alpha = n \pi - \alpha => 3\alpha = n \pi => \alpha = n \pi / 3$. 
Ini hanya berlaku jika $\alpha$ adalah kelipatan dari $\pi/3$.

Ada kemungkinan bahwa PQRS tidak sepenuhnya berada di dalam sektor.

Mari kita anggap soalnya benar dan coba cari luas maksimumnya saat $\theta = \alpha/2$. (Ini dari turunan pertama).
Jika $\theta = \alpha/2$, maka Luas = $\frac{2r^2}{\sin \alpha} \sin(\alpha/2) \sin(\alpha - \alpha/2) = \frac{2r^2}{\sin \alpha} \sin^2(\alpha/2)$
= $\frac{2r^2}{\sin \alpha} \frac{1 - \cos \alpha}{2} = \frac{r^2 (1 - \cos \alpha)}{\sin \alpha} = \frac{r^2 (2 \sin^2(\alpha/2))}{2 \sin(\alpha/2) \cos(\alpha/2)} = r^2 \tan(\alpha/2)$.

Ini adalah luas maksimum jika $\theta = \alpha/2$.

Soal minta tunjukkan luas maksimum saat $\theta = \alpha$, dan nyatakan luas maksimumnya.

Jika kita menganggap ada kesalahan di soal dan maksimum terjadi saat $\theta = \alpha/2$, maka luas maksimumnya adalah $r^2 \tan(\alpha/2)$.

Bagaimana jika kita coba balik: jika luas maksimum saat $\theta = \alpha$, maka $\alpha = (n\pi - \alpha)/2$. Ini berarti $\theta = \alpha$ adalah titik stasioner.

Jika $\theta = \alpha$, luas = 0.

Mari kita periksa kembali rumus luasnya.
Luas PQRS = PQ * PS.
PQ = 2r sin $\theta$.

Jika kita tinjau segitiga OSP, OP=r, OS=r. Sudut POS = $\alpha - \theta$.
PS^2 = OP^2 + OS^2 - 2 OP OS cos(POS)
PS^2 = r^2 + r^2 - 2r^2 cos($\alpha - \theta$) = 2r^2 (1 - cos($\alpha - \theta$)).
PS = $\sqrt{2} r \sqrt{1 - \cos(\alpha - \theta)}$.

Luas = (2r sin $\theta$) * $\sqrt{2} r \sqrt{1 - \cos(\alpha - \theta)}$. Ini tidak cocok.

Mari kita asumsikan rumus luas yang diberikan benar.
Luas = 2r^2 sin $\theta$ sin($\alpha - \theta$)/sin $\alpha$.

Untuk menunjukkan bahwa ini maksimum saat $\theta = \alpha$. Ini jelas salah jika kita substitusi.

Mungkin maksudnya adalah batas atas $\theta$ adalah $\alpha$. Dan maksimum terjadi saat $\theta$ mendekati $\alpha$. Tapi itu akan memberikan luas nol.

Ada kemungkinan soal ini berasal dari sumber yang salah, atau ada informasi yang hilang.

Asumsi: Ada kesalahan penulisan di soal. Maksimum terjadi saat $\theta = \alpha/2$.
Luas maksimum = $r^2 \tan(\alpha/2)$.

Jika kita harus mengikuti soal secara harfiah: