Gambarkan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan

Menggambar tiga parabola dan menentukan irisan daerah yang memenuhi ketiga pertidaksamaan.

Pembahasan

Untuk menggambarkan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan kuadrat-kuadrat berikut, kita perlu menggambar setiap pertidaksamaan pada sistem koordinat Kartesius dan menentukan daerah yang memenuhi ketiga pertidaksamaan tersebut.

Pertidaksamaan 1: 2y <= x^2 - x - 6
Kita ubah menjadi persamaan: 2y = x^2 - x - 6 atau y = 1/2 x^2 - 1/2 x - 3. Ini adalah parabola yang terbuka ke atas. Titik potong dengan sumbu x (y=0): x^2 - x - 6 = 0 => (x-3)(x+2) = 0 => x=3, x=-2. Titik potong dengan sumbu y (x=0): y = -3. Titik puncak: x = -b/2a = -(-1)/(2*1) = 1/2. y = 1/2(1/2)^2 - 1/2(1/2) - 3 = 1/2(1/4) - 1/4 - 3 = 1/8 - 2/8 - 24/8 = -25/8. Untuk daerah penyelesaian, kita uji titik (0,0): 2(0) <= 0^2 - 0 - 6 => 0 <= -6 (Salah). Jadi, daerah penyelesaian berada di bawah parabola.

Pertidaksamaan 2: y >= 6 - x^2
Kita ubah menjadi persamaan: y = 6 - x^2. Ini adalah parabola yang terbuka ke bawah. Titik potong dengan sumbu y (x=0): y = 6. Titik potong dengan sumbu x (y=0): 6 - x^2 = 0 => x^2 = 6 => x = ±√6. Titik puncak: (0, 6). Untuk daerah penyelesaian, kita uji titik (0,0): 0 >= 6 - 0^2 => 0 >= 6 (Salah). Jadi, daerah penyelesaian berada di atas parabola.

Pertidaksamaan 3: y <= x^2 + x - 12
Kita ubah menjadi persamaan: y = x^2 + x - 12. Ini adalah parabola yang terbuka ke atas. Titik potong dengan sumbu x (y=0): x^2 + x - 12 = 0 => (x+4)(x-3) = 0 => x=-4, x=3. Titik potong dengan sumbu y (x=0): y = -12. Titik puncak: x = -b/2a = -1/(2*1) = -1/2. y = (-1/2)^2 + (-1/2) - 12 = 1/4 - 1/2 - 12 = 1/4 - 2/4 - 48/4 = -49/4. Untuk daerah penyelesaian, kita uji titik (0,0): 0 <= 0^2 + 0 - 12 => 0 <= -12 (Salah). Jadi, daerah penyelesaian berada di bawah parabola.

Untuk menggambar daerah penyelesaiannya, kita perlu mencari titik potong antara ketiga parabola tersebut dan kemudian mewarnai daerah yang memenuhi ketiga kondisi pertidaksamaan. Karena ini adalah deskripsi tekstual, penggambaran grafis tidak dapat dilakukan di sini. Namun, langkah-langkah di atas menjelaskan cara menganalisis setiap pertidaksamaan untuk menemukan daerah penyelesaiannya.