Gambarkan grafik fungsi berikut.f(x)=(x^2-2x-15)/(x^2-2x-3)

Grafik fungsi rasional dengan asimtot tegak di x=3 dan x=-1, asimtot datar di y=1, memotong sumbu x di (-3,0) dan (5,0), serta sumbu y di (0,5).

Pembahasan

Untuk menggambarkan grafik fungsi f(x) = (x^2 - 2x - 15) / (x^2 - 2x - 3), kita perlu menganalisis beberapa aspek:

1.  **Faktorisasi:**
    *   Pembilang: x^2 - 2x - 15 = (x - 5)(x + 3)
    *   Penyebut: x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)
    Jadi, f(x) = ((x - 5)(x + 3)) / ((x - 3)(x + 1))

2.  **Asimtot Tegak:**
    Asimtot tegak terjadi ketika penyebut bernilai nol, yaitu x - 3 = 0 atau x + 1 = 0. Maka, asimtot tegak berada pada x = 3 dan x = -1.

3.  **Asimtot Datar:**
    Karena derajat pembilang sama dengan derajat penyebut (keduanya derajat 2), asimtot datarnya adalah perbandingan koefisien suku berpangkat tertinggi dari pembilang dan penyebut. Dalam hal ini, koefisien x^2 di pembilang adalah 1 dan di penyebut adalah 1. Jadi, asimtot datarnya adalah y = 1/1 = 1.

4.  **Perpotongan dengan Sumbu y:**
    Untuk mencari perpotongan dengan sumbu y, kita substitusikan x = 0 ke dalam fungsi:
f(0) = (0^2 - 2*0 - 15) / (0^2 - 2*0 - 3) = -15 / -3 = 5. Jadi, grafik memotong sumbu y di (0, 5).

5.  **Perpotongan dengan Sumbu x (Akar Fungsi):**
    Perpotongan dengan sumbu x terjadi ketika pembilang bernilai nol, yaitu (x - 5)(x + 3) = 0. Maka, x = 5 dan x = -3. Jadi, grafik memotong sumbu x di (5, 0) dan (-3, 0).

6.  **Titik Sederhana (Opsional):**
    Kita bisa menguji beberapa titik lain untuk mendapatkan gambaran lebih akurat. Misalnya, untuk x = 4:
f(4) = (4^2 - 2*4 - 15) / (4^2 - 2*4 - 3) = (16 - 8 - 15) / (16 - 8 - 3) = -7 / 5 = -1.4.
    Untuk x = -2:
f(-2) = ((-2)^2 - 2*(-2) - 15) / ((-2)^2 - 2*(-2) - 3) = (4 + 4 - 15) / (4 + 4 - 3) = -7 / 5 = -1.4.

**Kesimpulan untuk Menggambar Grafik:**
*   Gambar grafik fungsi rasional ini akan memiliki dua asimtot tegak pada x = 3 dan x = -1.
*   Akan ada asimtot datar pada y = 1.
*   Grafik akan memotong sumbu x di (-3, 0) dan (5, 0).
*   Grafik akan memotong sumbu y di (0, 5).
*   Di antara asimtot tegaknya, fungsi akan memiliki bentuk seperti parabola yang terbuka ke atas di antara x=-1 dan x=3, dengan nilai minimum di sekitar titik tertentu. Di luar interval ini, grafik akan mendekati asimtot datar dari atas atau bawah.