Gambarkan grafik fungsi y = f(x) jika: a. f(x) = 2|x

Grafik terdiri dari ruas-ruas garis. Kedua fungsi memiliki nilai minimum. Tidak ada daerah di mana grafik mendatar.

Pembahasan

Untuk menggambar grafik fungsi y = f(x) yang melibatkan nilai mutlak, kita perlu menganalisis kasus berdasarkan nilai-nilai x yang membuat ekspresi di dalam nilai mutlak menjadi nol.

a. f(x) = 2|x -1|+3|x-3|
Titik kritis adalah x = 1 dan x = 3.

Kasus 1: x < 1
|x-1| = -(x-1) = 1-x
|x-3| = -(x-3) = 3-x
f(x) = 2(1-x) + 3(3-x) = 2 - 2x + 9 - 3x = 11 - 5x

Kasus 2: 1 <= x < 3
|x-1| = x-1
|x-3| = -(x-3) = 3-x
f(x) = 2(x-1) + 3(3-x) = 2x - 2 + 9 - 3x = 7 - x

Kasus 3: x >= 3
|x-1| = x-1
|x-3| = x-3
f(x) = 2(x-1) + 3(x-3) = 2x - 2 + 3x - 9 = 5x - 11

Grafik fungsi ini akan terdiri dari tiga ruas garis. Untuk x < 1, grafiknya menurun dengan gradien -5. Di antara x=1 dan x=3, grafiknya menurun dengan gradien -1. Untuk x >= 3, grafiknya menaik dengan gradien 5.

Nilai minimum akan terjadi pada titik "belok" atau "sudut" dari grafik. Kita perlu memeriksa nilai f(x) di titik kritis:
Di x=1: f(1) = 2|1-1|+3|1-3| = 2(0) + 3(2) = 6. Menggunakan rumus kasus 2: f(1) = 7 - 1 = 6.
Di x=3: f(3) = 2|3-1|+3|3-3| = 2(2) + 3(0) = 4. Menggunakan rumus kasus 3: f(3) = 5(3) - 11 = 15 - 11 = 4.
Nilai minimumnya adalah 4 pada x = 3. Tidak ada daerah di mana grafik mendatar.

b. f(x) = |2x-1|+|3x-6|
Titik kritis adalah 2x-1=0 => x=1/2 dan 3x-6=0 => x=2.

Kasus 1: x < 1/2
|2x-1| = -(2x-1) = 1-2x
|3x-6| = -(3x-6) = 6-3x
f(x) = (1-2x) + (6-3x) = 7 - 5x

Kasus 2: 1/2 <= x < 2
|2x-1| = 2x-1
|3x-6| = -(3x-6) = 6-3x
f(x) = (2x-1) + (6-3x) = 5 - x

Kasus 3: x >= 2
|2x-1| = 2x-1
|3x-6| = 3x-6
f(x) = (2x-1) + (3x-6) = 5x - 7

Grafik fungsi ini juga akan terdiri dari tiga ruas garis. Untuk x < 1/2, grafiknya menurun dengan gradien -5. Di antara x=1/2 dan x=2, grafiknya menurun dengan gradien -1. Untuk x >= 2, grafiknya menaik dengan gradien 5.

Nilai minimum:
Di x=1/2: f(1/2) = |2(1/2)-1|+|3(1/2)-6| = |1-1|+|3/2-12/2| = |0|+|-9/2| = 9/2. Menggunakan rumus kasus 2: f(1/2) = 5 - 1/2 = 9/2.
Di x=2: f(2) = |2(2)-1|+|3(2)-6| = |4-1|+|6-6| = |3|+|0| = 3. Menggunakan rumus kasus 3: f(2) = 5(2) - 7 = 10 - 7 = 3.
Nilai minimumnya adalah 3 pada x = 2. Tidak ada daerah di mana grafik mendatar.

Kesimpulan:
Ya, kedua fungsi memiliki nilai minimum. Tidak ada daerah di mana grafik fungsi y = f(x) mendatar karena gradiennya selalu berubah di titik kritis.