Gambarlah grafik himpunan penyelesaian sistem

Nilai maksimum Z adalah 12.

Pembahasan

Untuk menggambar grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear x+2y >= 10; 4x+y <= 12; x, y >= 0, dan menentukan nilai maksimum fungsi objektif Z=4x+y, ikuti langkah-langkah berikut:

1.  **Gambarkan Garis Batas:**
    *   Untuk x + 2y = 10: Jika x=0, y=5 (titik (0,5)). Jika y=0, x=10 (titik (10,0)). Tarik garis melalui kedua titik ini.
    *   Untuk 4x + y = 12: Jika x=0, y=12 (titik (0,12)). Jika y=0, x=3 (titik (3,0)). Tarik garis melalui kedua titik ini.
    *   Untuk x = 0 (sumbu y) dan y = 0 (sumbu x).

2.  **Tentukan Daerah Penyelesaian:**
    *   Untuk x + 2y >= 10: Uji titik (0,0). 0 + 2(0) = 0, yang tidak lebih besar atau sama dengan 10. Jadi, daerah penyelesaian berada di atas garis x + 2y = 10.
    *   Untuk 4x + y <= 12: Uji titik (0,0). 4(0) + 0 = 0, yang lebih kecil atau sama dengan 12. Jadi, daerah penyelesaian berada di bawah garis 4x + y = 12.
    *   Untuk x >= 0 dan y >= 0: Daerah penyelesaian berada di kuadran I.
    *   Irisan dari ketiga daerah tersebut adalah daerah penyelesaian yang valid.

3.  **Tentukan Titik-titik Sudut:**
    Titik-titik sudut dari daerah penyelesaian adalah perpotongan garis-garis batas. Anda perlu menemukan:
    *   Titik potong x + 2y = 10 dengan sumbu y (0,5).
    *   Titik potong 4x + y = 12 dengan sumbu x (3,0).
    *   Titik potong antara x + 2y = 10 dan 4x + y = 12. 
        Dari 4x + y = 12, kita dapatkan y = 12 - 4x. Substitusikan ke persamaan pertama:
        x + 2(12 - 4x) = 10
        x + 24 - 8x = 10
        -7x = 10 - 24
        -7x = -14
        x = 2
        Sekarang cari y: y = 12 - 4(2) = 12 - 8 = 4. Jadi, titik potongnya adalah (2,4).

4.  **Uji Titik-titik Sudut pada Fungsi Objektif Z = 4x + y:**
    *   Di titik (0,5): Z = 4(0) + 5 = 5
    *   Di titik (3,0): Z = 4(3) + 0 = 12
    *   Di titik (2,4): Z = 4(2) + 4 = 8 + 4 = 12

5.  **Tentukan Nilai Maksimum:**
    Nilai maksimum dari fungsi objektif Z = 4x + y adalah 12, yang dicapai pada titik (3,0) dan (2,4).