Garis singgung g melalui titik P(3,1) pada lingkaran

Nilai k² adalah 18/5.

Pembahasan

Soal ini melibatkan konsep garis singgung pada lingkaran.

Lingkaran pertama memiliki persamaan x² + y² = 10. Ini adalah lingkaran dengan pusat di (0,0) dan jari-jari √10.
Garis singgung g melalui titik P(3,1) pada lingkaran ini.

Persamaan garis singgung pada lingkaran x² + y² = r² di titik (x₁, y₁) adalah xx₁ + yy₁ = r².
Jadi, persamaan garis singgung g adalah 3x + 1y = 10, atau y = -3x + 10.

Lingkaran kedua memiliki persamaan (x-5)² + (y-1)² = k². Ini adalah lingkaran dengan pusat di (5,1) dan jari-jari |k|.
Karena garis g juga menyinggung lingkaran kedua, jarak dari pusat lingkaran kedua (5,1) ke garis g (3x + y - 10 = 0) harus sama dengan jari-jari lingkaran kedua (|k|).

Jarak dari titik (x₀, y₀) ke garis Ax + By + C = 0 diberikan oleh rumus: Jarak = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²).

Dalam kasus ini, (x₀, y₀) = (5,1), A = 3, B = 1, dan C = -10.

Jarak = |3(5) + 1(1) - 10| / √(3² + 1²)
Jarak = |15 + 1 - 10| / √(9 + 1)
Jarak = |6| / √10
Jarak = 6 / √10

Karena jarak ini sama dengan jari-jari lingkaran kedua (|k|), maka:
|k| = 6 / √10

Untuk mencari nilai k², kita kuadratkan kedua sisi:
k² = (6 / √10)²
k² = 36 / 10
k² = 18 / 5

Jadi, nilai k² adalah 18/5.