f^-1, g^-1, dan h^-1 berturut-turut menyatakan invers

-13/2

Pembahasan

Untuk menentukan nilai f(3), kita perlu menggunakan informasi yang diberikan mengenai komposisi fungsi invers.

Diketahui:
1. (f^-1 o g^-1 o h^-1)(x^2) = 2x^2 - 5
2. (h o g)(x) = (2x - 1) / (x + 3)

Dari sifat komposisi fungsi invers, kita tahu bahwa (f^-1 o g^-1 o h^-1)(x) = (h o g o f)^-1 (x).

Misalkan y = (h o g o f)(x). Maka, x = (h o g o f)^-1 (y).

Dari informasi pertama, kita punya:
(f^-1 o g^-1 o h^-1)(x^2) = 2x^2 - 5
Ini berarti (h o g o f)^-1 (x^2) = 2x^2 - 5

Misalkan u = x^2. Maka, (h o g o f)^-1 (u) = 2u - 5.

Ini berarti bahwa invers dari komposisi fungsi hogof adalah 2u - 5.
Dengan demikian, fungsi komposisi (h o g o f)(x) adalah invers dari (2x - 5).

Untuk mencari invers dari fungsi g(x) = 2x - 5:
Misalkan y = 2x - 5
y + 5 = 2x
x = (y + 5) / 2
Jadi, (h o g o f)(x) = (x + 5) / 2.

Sekarang kita punya:
(h o g o f)(x) = (h(g(f(x)))) = (x + 5) / 2

Kita juga tahu bahwa (h o g)(x) = (2x - 1) / (x + 3).
Ini berarti h(g(x)) = (2x - 1) / (x + 3).

Mari kita substitusikan g(f(x)) ke dalam persamaan (h o g)(x):
h(g(f(x))) = (2 * f(x) - 1) / (f(x) + 3)

Kita tahu bahwa h(g(f(x))) = (x + 5) / 2. Jadi:
(2 * f(x) - 1) / (f(x) + 3) = (x + 5) / 2

Sekarang kita perlu menyelesaikan persamaan ini untuk f(x):
2 * (2 * f(x) - 1) = (x + 5) * (f(x) + 3)
4 * f(x) - 2 = x * f(x) + 3x + 5 * f(x) + 15
4 * f(x) - 2 = (x + 5) * f(x) + 3x + 15

Pindahkan semua suku yang mengandung f(x) ke satu sisi:
4 * f(x) - (x + 5) * f(x) = 3x + 15 + 2
(4 - (x + 5)) * f(x) = 3x + 17
(4 - x - 5) * f(x) = 3x + 17
(-x - 1) * f(x) = 3x + 17
f(x) = (3x + 17) / (-x - 1)
f(x) = -(3x + 17) / (x + 1)

Sekarang kita perlu menentukan nilai f(3):
f(3) = -(3*3 + 17) / (3 + 1)
f(3) = -(9 + 17) / 4
f(3) = -26 / 4
f(3) = -13 / 2

Jadi, nilai f(3) adalah -13/2.